第二章 第3讲 函数的奇偶性，周期性与对称性-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

国高考一轮总复习·数学·RJA 2.(2023·新高考全四I卷)设函数f(.x)=2- 3.已知函数f(x)=1ogx+2,若f(3x-2)<5,则 在区间(0,1)上单调递减，则4的取值范围是 实数，x的取值范围是 () A(得引 五（层） A.(-∞，-2] B.[-2,0) c(,) D.(-o,) C.(0,2] D.[2,+oo) 请完成《课时检测训练7》 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 课标多求 1.理解函数奇偶性的含义， 2.了解函数的最小正周期的含义. 3.会利用函数的奇偶性，单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题 必备知识 夯实四基可 [对应答案362可 知识梳理 常用结论 1.函数的奇偶性 1.西数周期性的常用结论 对f(x)定义城内任一自变量的值x: 奇偶性 定义 图象特点 (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). 骰地，设函数f《x)的定义域 fr则T=2a(a>0). 1 (2)若f(x+a) 为D,如果Hx∈D,都有一x∈ 关于回对称 偶函数 D,且D ,那么函数 (3)若(x+a)=-),则T=2a(a>0). 「《x)就叫做偶函数 2.对称性的四个常用结论 般地，设函数(x)的定义域 (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y= 为D,如果VxED,都有一r∈ 奇函数 关于四对称 f(x)的图象关于直线x-a对称. D,且@ ,那么函数 (2)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y= f(x)就叫做奇函数 f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 2.函数的周期性 (3)若函数y=f(x)满是f(a十x)=f(b-x),则y (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个 =)的图泉关于直线士对称：特到地，当心 非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时， =b时，即fa十x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-,x) 都有f(.x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x) 时，则y=f八x)的图象关于直线x=a对称. 为周期函数，称T为这个函数的周期。 (4)若函数y=f(x)满足f(x)十f(2a-x)=2b 则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地，当 (2)最小正周期：如果在周期函数「(x)的所有周 b=0时，即f(a十x)+f(a-x)=0或f(x)+ 期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 f(2a-x)=0时，则y=f(x)的图象关于点(a, 叫做f(x)的固 正周期. 0)对称. 26 第二章函数的概念与基本初等函数可 诊断自测】 A.2 号 思考辨析 C.-2 1.判断（在括号内打“√”或“×”） D专 (1)函数y=x在x∈(0，十∞)上是偶函数， 3.(人A必修第一册P203练习T4改编)若函数 ( f(x)满足f(x+3)=f(r-1),且当x∈ (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)=0. [-2,0]时，f(.x)=37+1,则f(2022)= () (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z,n≠0) A号 B.10 也是函数的周期. ( C.4 D.2 (4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b 易错自纠 ,嘴函数)的图象关于点（生中.0）对称。 4.(判定函数奇偶性忽视定义城致误)函数f(x) ( 是 函数。（填“奇”“偶”“非 教材衍化 奇非偶”) 2.(人A必修第一册P86习短3.2T11改编)已知函数 5.(不能叉活利用函数性质效误)已知函数f(x)对 e,x≥0， f(x)= 为偶函数，则g(n)= 任意实数x都有f(1一x)=f(1+x),当x>1 g(.x),< 时x)=则-D 提升能力 考点剖析⑦ [为应答案P363 考点 函数的奇偶性（多维探究） 角度1函数奇偶性的判断 感悟方法 例1]判断下列函数的奇偶性， 判断西数的奇偶性，其中包括两个必备条件： a)-t-2,(2=e4+2 1g(4-x2) (1)定义城关于原点对称，这是品数具有奇偶性 的必要不充分条件，所以首先考虑定义域： (3)f(x)=√-1+√1-x: (2)判断f(r)与f(一x)是否具有等量关系，在 -x2+2.x十1，x>0, (4)f(x)= 判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性 x+2x-1.x<0. 的等价等量关系式(f(x)十f(一x)=0(奇函 数)成f(x)一f(-x)=0(偶函数)是否成立. 角度2函数奇偶性的应用 [例2](1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)若f(x)=(x 十aln为偶函数，则a () A.-1B.0 c号 D.1 (2)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x) 2 z-2x+2则f代)= 27⑧ 国高考一轮总复习·数学·RJA 感悟方法 的解析式可以为 1,利用函数的