6.1.5 向量的线性运算 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.1 平面向量及其线性运算 6.1.5 向量的线性运算 新授课 1. 理解向量线性运算的意义及运算法则，会进行向量的线性运算； 2. 掌握用已知向量表示未知向量的方法； 3. 掌握证明三点共线的方法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：向量的加法与数乘向量的混合运算 思考：向量的加法和数乘向量的结果是向量吗？它们能进行混合运算吗？ 向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，两者可以进行混合运算. 例如：对任意向量 ，式子 (6) + (2) 是有意义的. 一般的，一个含有向量加法，数乘向量的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法. 因此，(6) + (2) 可以简写成 6 + 2；另外，不难看出 6 + 2 = 8. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 一般地，对于实数 λ 与 μ，以及向量 ，有 λ + μ = (λ + μ) 当 λ，μ 都是正数时，λ + μ 和 (λ + μ) 的方向都与 的方向相同，而且模等于 (λ + μ)||，所以此时 λ + μ = (λ + μ). 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：根据上述概念，说说 3 + 3 与 3( + ) 之间有什么关系. a b B A D F E C 3a a + b 3b 3a + 3b 如图所示，，，； 又∠DEF =∠ABC，，，所以△DEF∽△ABC； 因此， ∥，且 || = 3||，从而有 ，即 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 一般地，对于任意实数 λ ，以及向量 与 ，有 λ = λ + λ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：化简：5 + + 2( + ). 解：原式 = 5 + + 2 + 2 = 5 + 2 + + 2 = (5 + 2) + (1 + 2) = 7 + 3. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 化简：3( + ) – 2( – ). 解：原式 = 3 + 3 – 2 + 2 = 3 – 2 + 3 + 2 = (3 – 2) + (3 + 2) = + 5. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算. 规定： （1）先计算数乘向量，再从左往右计算，有括号，先算括号内各项； 如：[ – (2)] + 6 可以简单的写成 – 2 + 6. （2）向量的加法满足交换律和结合律； 如： – 2 + 6 = + (– 2) + 6 = + 6 + (– 2) = 7 – 2. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ：化简下列各式： （1）2( + ) – 2( – )； （2）2 – ×3 + ×4； （3）()( – ) + ()( + ). 解：（1）原式 = 2 + 2 – 2 + 2 = 2 – 2 + 2 + 2 = 4； （2）原式 = 2 – + 2 = 4 – ； （3）原式 = () – () + () + () = [() + ()] + [() – ()] = 2 – 2 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3 ：如图，已知，，求证：. 证明：由已知得 = () = . B A C D E 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4 ：已知M为线段AB的中点，且O为任意一点，求证：. 证明：由M为线段AB的中点可知 ， 所以 ， 从而有 2，即 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 5 ：已知，求证：M 为线段 AB 的中点. 证明：由 可知 2， 所以 ， 从而有 ，即M 为线段 AB 的中点. 小结：由例 4 与 例 5 可知， M 为线段 AB 的中点的充要条件是 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 6 ：已知 A，B，C 是三个不同的点 ，，，求证：A，B，C 三点共线. 证明：因为， ； 所以 ，因此 A，B，C 三点共线. 新课讲授 学习目标 课堂总结