8.2.2两角和与差的正弦、正切 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.2 三角恒等变换 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 新授课 1. 类比两角和与差的余弦公式的推导过程，能推导两角和与差的正弦、正切公式； 2. 会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、求值等. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 问题 1：请根据 Cα − β、Cα + β 及诱导公式，用任意角 α、β 的正弦、余弦表示 sin⁡ (α + β)、sin⁡ (α – β) 的公式. 解：将角 (α + β) 看做是一个整体，运用诱导公式得： sin⁡ (α – β) = cos [ – (α – β) ] = cos [( – α) + β] = cos ( – α) · cos β – sin ( – α) · sin β = sin α · cos β – cos α · sin β； 同理：sin⁡ (α + β) = – cos [ + (α + β) ] = – cos ( + α + β) = – cos ( + α) · cos β + sin ( + α) · sin β = sin α · cos β + cos α · sin β； （Sα – β） （Sα + β） 知识点 1：两角和与差的正弦、正切公式 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：请根据正切函数与正、余弦函数的关系，从 Cα±β、Sα±β 出发，推导出用任意角 α、β 的正切表示 tan⁡ (α + β)、tan⁡ (α – β) 的公式. 解：tan⁡ (α + β) = = = = ； 同理：tan (α – β) = . （Tα + β） （Tα – β） 新课讲授 学习目标 课堂总结 总结归纳 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S(α + β)：sin⁡ (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ S(α – β)：sin⁡ (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ C(α + β)：cos⁡ (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ C(α – β)：cos⁡ (α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ T(α + β)：tan⁡ (α + β) = T(α – β)：tan⁡ (α – β) = 和角公式： S(α + β)、C(α + β)、T(α + β)； 差角公式： S(α – β)、C(α – β)、T(α – β)； 思考：仔细观察左侧和(差)角公式，说说它们间有怎样的关系？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 和（差）公式之间的关系： 【和角公式】S(α + β)、C(α + β)、T(α + β)； 【差角公式】：S(α – β)、C(α – β)、T(α – β) . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：求 sin 75°和 sin 15°的值. 解： sin 75°= sin (45°+ 30°) = sin 45°cos 30°+ cos 45°sin30° = = ； sin 15°= sin (45°– 30°) = sin 45°cos 30°– cos 45°sin30° = = . 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：求下列各式的值. （1）tan 75°； （2）； （3）. 解：（1）tan 75°= tan (45°+ 30°) = = = 2 + ； （2） = tan (17°+ 43°) = tan 60°= ； （3）因为 tan 45°= 1， 所以 = = tan (45°– 15°) = tan 30°= . 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 例 3：已知向量 = (3，4)，如图所示，将向量逆时针旋转45°到的位置. 求点 P´(x´，y´)的坐标. y O x P α P´ 45° 解：设∠xOP = α，则因为|OP| = = 5， 所以 cos α = ，sin α = ， 因此 x´= 5cos(α + 45°)