2023-2024学年人教版九年级上册数学期末 圆的证明专题

2023-2024学年人教版九年级上册数学期末 圆的证明专题 1．如图，在⊙O中，，于点D，于点E． 求证：； 2．如图，在中，弦相交于点E，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（1）如图1，在菱形中，点E，F分别为边，的中点，连接，．求证：． （2）如图2，是的直径，与相切于点A，连接交于点D，的延长线交于点E，连接，，，求的度数． 4．如图，为的外接圆，连接、，并分别延长交、于点和点．若，． (1)求的面积； (2)证明：． 5．如图，为上一点，点在直径的延长线上，是的切线． (1)求证：． (2)若，，求的长． 6．如图，是的直径，点为上一点，为弧的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 7．如图，为的直径，点C，D在上，与交于点E，，连接．求证：    (1)； (2)四边形是菱形． 8．如图，在中，，是的外接圆，过点O作的垂线，垂足为D，分别交的延长线，于点E，F；，的延长线交于点G． (1)求证 (2)若求的度数． 9．已知矩形，．    (1)如图1，若点B，D在以O为圆心，为半径的圆上，，求证：； (2)如图2，点E，F分别在，边上，若点D，点C关于直线对称的点分别为点B和点P，判断直线与过A，E，F三点的圆的位置关系，并说明理由． 10．如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、．    (1)求证：； (2)若的半径为5，，求弦的长． 11．已知，圆内接四边形的对角线交于点，平分．    (1)如图1，求证：是圆的直径； (2)如图2，点为圆的圆心，过点作，使，交的延长线于点，若，，求半径的长． 12．是的直径，弦，垂足为，连接，，．    (1)如图1，连接，，若是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交⊙O于点E，求证：为的中点 (3)如图3，若的半径是1，，求点到弦的距离． 13．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，将粮食磨碎．如图，为的直径，为的中点，连接并延长交延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 14．如图，在中，的平分线交于点E，在边上取一点O，以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为H，求证：； (3)若，求的长． 15．已知：四边形内接于，对角线交于点平分．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点，点为上一点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作的切线交的延长线于点，若，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．证明：如图，连接， ∵，，， ∴是的角平分线， ∴， ∴． 2．（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴ 3．解：（1）∵点E，F分别为边的中点, ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∴在和中， ∴ ∴（）， ∴． （2）∵， ∴． ∵与相切于点A，是半径， ∴， ∴． 4．1）证明：作，垂足为，     ， ．                         ，， ，．         ．                                 在中，， ， ．                                      ∴⊙ 的面积； （2）证明：延长交⊙于点，连接， ， ．            ， 为等边三角形．                       ，． ．                        又，                            ．                             ．                                  ． 5．（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 6．（1）证明：是的中点， ， 为的直径，， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接交于点， 为的直径，， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 的半径为5． 7．（1）在和中， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 8．（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， 解得：， ∴． 9．（1）证明：∵点B，D在以O为圆心、为半径的圆上， ∴是的外接圆， 又∵四边形为矩形， ∴， ∴