11.4.2 平面与平面垂直 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.4 空间中的垂直关系 11.4.2 平面与平面垂直 新授课 1. 理解二面角及其平面角的概念，会求简单二面角的大小； 2. 理解两个平面互相垂直的概念； 3. 掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 思考：如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，两面的“夹角”逐渐变化. 你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？ 知识点 1：二面角 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 二面角的定义： 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱， 这两个半平面称为二面角的面. α B A β 棱 面 新课讲授 学习目标 课堂总结 α B A β C D 问题 1：如图，以 AB 为棱，α 和 β 为半平面的二面角，通常记作二面角α-AB-β. 如果 C 和 D 分别是半平面 α 和 β 内的点，那么这个二面角也可记作 C-AB-D. 那么如何来刻画二面角的大小呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 α l β A B O 如图所示，在二面角 α-l-β 的棱上任取一点 O，以 O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 所成的角称为二面角的平面角；二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小；特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 A B C D A´ B´ C´ D´ 解：连接 D´A 和 C´B. 由已知有 AB⊥面ADD´A´， 所以 AD´⊥AB，AD⊥AB， 因此 ∠D´AD 即为二面角 D´-AB-D 的平面角. 由于 △D´AD 是等腰直角三角形， 因此∠D´AD = 45°， 所以二面角 D´-AB-D 的大小是 45°. 例 1：如图所示，在正方体 ABCD-A´B´C´D´中，求二面角 D´-AB-D 大小. 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的 4 个二面角中，不大于 90°的角的大小. 因此，如图，平面 ABC´D´ 与平面 ABCD 所成角的大小为 45°，平面 ADD´A´ 与平面 ABCD 所成角的大小为 90°. A B C D A´ B´ C´ D´ 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，两个平面 α 与 β 所成的角的大小为 90°，则称这两个平面互相垂直，记作 α⊥β . 知识点 2：平面与平面垂直 思考：试着举出几个生活中的平面与平面垂直的实例？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：如图所示，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，通常会用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，然后紧贴线来砌墙. 说说为什么此时墙面就一定会与水平面垂直？ 如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直. 思考：试着从数学的角度，分析这一现象的原因. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 平面与平面垂直的判定定理 如果一平面经过另一平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． A O m α l β 符号表示：l ⊂ α，l⊥β ⇒ α⊥β. 如图，设 α ∩ β = m，l ∩ β = O. 过O在平面β内作与m垂直的直线OA，则有l⊥OA； 由此可知α与β所成角的大小为90°，因此α⊥β. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，设 AO ∩ β = O，过 O 在平面 β 内作与 m 垂直的直线 OB，则∠AOB 为二面角 A-m-B 的平面角； 因为 α⊥β，所以∠AOB = 90°，因此 AO⊥OB； 又因为AO⊥m，m∩OB = O，m⊂β 且 OB ⊂ β， 所以 AO⊥ β. 思考：结合证明过程说说若平面 α 与平面 β 互相垂直，你能得出什么结论？ 问题 3：如图，a⊥β，a∩β = m，AO⊂α，AO⊥m，试证明：AO⊥ β. O m α A β B 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 符号表示：如果 a⊥β，a∩β = m，AO⊂a，AO⊥m，则AO⊥β. B O m α A β 新课讲授 学习目标 课堂总结 A B C D α β 解：连接 BC. 因为 α⊥β，α∩β = AB，BD ⊂ β，BD⊥AB， 所以 BD⊥α； 又因为 BC ⊂ α ，所以 BD⊥BC，因此 △CBD 是直角三角形； 在 Rt△BAC 中，有 BC = = = 2； 进而