11.4.1 直线与平面垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 新授课 1. 理解异面直线所成的角的概念； 2. 掌握线面垂直的定义，判定定理和性质定理，会证明线面垂直； 3. 理解直线与平面所成角的概念. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：直线与直线所成的角 问题 1：观察平面内的两条相交直线 l 与 m，如何来定义两条相交直线成角？ l m 1 2 3 4 两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小； 如图，直线 l 与 m 相交所成角的大小是∠1，∠3 的大小. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：如图所示正方体中，AB 与 B1C1 异面，AB 与 B1D1 也异面，尝试定义两条异面直线所成角的大小？ 如图所示，AB 与 B1C1 异面，又AB∥A1B1， A1B1 与 B1C1 共面，则∠A1B1C1 = 90°为异面直线 AB 与 B1C1 所成角的大小； 同理∠A1B1D1 = 45°为异面直线 AB 与 B1D1 所成角的大小. 若 a，b 是空间中的两条异面直线，过空间任一点，分别作与 a，b 平行或重合的直线 a′，b′，则 a′与 b′所成角的大小，称为异面直线 a 与 b 所成角的大小． 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 空间中任意两条直线所成角的大小 规定：空间中两条平行直线所成角的大小为 0°. 两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角. 特别地，空间中两条直线 l，m 所成角的大小为 90°时，称 l 与 m 垂直，记作 l⊥m. 若 l∥n 且 n⊥m，则一定有 l⊥m. m n l 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：直线与平面垂直及其判定定理 问题 3：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊(视为一条直线)与桌面的位置关系，此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？ 直线垂直于平面内的任意一条直线 思考：一条直线与一平面垂直的特征是什么？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 直线与平面垂直： 一般地，如果直线 l 和平面 α 内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面 α 垂直. 记作： l⊥α ⇔ ∀ m ⊂ α，l⊥m. α P l 新课讲授 学习目标 课堂总结 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面 α 垂直； 问题 4：过纸片△ABC的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．如何翻折才能使折痕 AD 与桌面垂直？为什么？ 即直线 AD 与平面 α 内的两条相交直线 BC ，AD 都垂直. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 5：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？ 由基本事实的推论 2，两条相交直线可以确定一个平面；故当一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面． 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 记作： l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α， m∩n ≠ ∅ ⇒ l⊥α. α P l m n 关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直 直线与平面垂直 直线与直线垂直 新课讲授 学习目标 课堂总结 证明：由已知可得 O 为 AC 的中点. 在 △SAC 中，因为 SA = SC，且 AO = OC， 所以由等腰三角形三线合一可知 SO⊥AC； 同理，SO⊥BD. 又因为 AC∩BD = O，所以 SO⊥面ABCD. 例 1：如图所示的四棱锥 S-ABCD 中，已知 ABCD 是一个平行四边形，AC∩BD = O，且 SA = SC，SB = SD. 求证：SO⊥面ABCD. 典例剖析 S A B C D O 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 3：直线与平面垂直的性质 思考：如图所示，书本的书脊垂直于桌面，且书脊与每页书的一外侧边缘平行，那么这些书页的外边缘与桌面是否垂直？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 证明：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 如图，已知 a∥b，a⊥α，求证：b⊥α． 在平面 α 内取两条相交直线 m，n． ∴ b⊥α． 又 m，n 是平面 α 内的两条相交直线， ∴ b⊥m， b⊥n． ∵ a∥b， ∴ a⊥m， a⊥n， ∵ a⊥α， α b a m n 思考：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？ 新