10.2.2 复数的乘法与除法课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

10.2 复数的运算 10.2.2 复数的乘法与除法 新授课 1. 掌握复数乘、除法的运算法则，能够进行复数的乘除运算； 2. 了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即 a，b，c∈R 时，有 (a + b)c = ac + bc. 且实数的正整数次幂满足 aman = am+n，(am)n = amn，(ab)n = anbn (m，n均为正整数). 思考：复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？ 知识点 1：复数的乘法 新课讲授 学习目标 课堂总结 复数的乘法法则 设 z1 = a + bi，z2 = c + di (a，b，c，d∈R)，则称 z1z2 (或 z1×z2) 为 z1与 z2 的积，且两个复数的积仍然是一个确定的复数. 概念生成 由上可知，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用 i2 = – 1 即可算出两个复数的积. z1z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd i2 = (ac – bd) + (ad + bc)i 规定：i2 = – 1 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：设 z1 = 3，z2 = 1 – 2i，z3 = – 5i，分别计算下列各式的值. （1）z1z2 与 z2z1； （2）(z1z2)z3 与 z1(z2z3)； （3）z1(z2 + z3) 与 z1z2 + z1z3. 解：（1）z1z2 = 3(1 – 2i) = 3 – 6i，z2·z1 = (1 – 2i)3 = 3 – 6i； （2）(z1z2)z3 = (3 – 6i)(– 5i) = – 15i + 30i2 = – 30 – 15i； z1(z2z3) = 3[(1 – 2i)(– 5i)] = 3(– 5i + 10i2) = 3(– 10 – 5i) = – 30 – 15i； （3）z1(z2 + z3) = 3[1 – 2i + (– 5i)] = 3(1 – 7i) = 3 – 21i； z1z2 + z1z3 = 3 – 6i + 3(– 5i) = 3 – 6i – 15i = 3 – 21i. 思考：观察上面每组的计算结果，说说你有什么发现？ 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 复数乘法的交换律和结合律及对加法的分配律 对任意 z1，z2，z3∈C，都有： （1）z1z2 = z2z1；（2）(z1z2)z3 = z1(z2z3)；（3）z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知 a，b∈R，求证：(a + bi)(a – bi) = a2 + b2. 证明：(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + bai – b2i2 = a2 + b2. 方法小结： （1）共轭复数的积：∀ z∈C，z = |z|2 = ||2； （2）复数的完全平方及平方差公式： (z1 + z2)2 = z12 + 2z1z2 + z22，z12 – z22 = (z1 + z2)(z1 – z2) . 新课讲授 学习目标 课堂总结 计算 (1 + i)2 与 (1 – i)2 的值. 练一练 解：(1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 2i； (1 – i)2 = 12 – 2i + i2 = – 2i. 新课讲授 学习目标 课堂总结 复数的乘方 n 个相同的复数 z 相乘时，仍称为 z 的 n 次方(或 n 次幂)，记作 zn，即 zn = z×z×···×z. 概念拓展 可以验证，当 m，n 均为正整数时， zmzn = zm+n，(zm)n = zmn，(z1z2)n = z1nz2n. 由此可知 (5i)2 = 52×i2 = – 25；i3 = i2×i = – i；i4 = i2×i2 = (– 1)×(– 1) = 1. n 个 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：在实数中，如果a ≠ 0且ax = b，那么x = ，类比实数除法的意义，猜想两个复数相除的定义. 知识点 2：复数的除法 如果复数 z2 ≠ 0，则满足 zz2 = z1 的复数 z 称为 z1 除以 z2 的商，并记作 z = (或 z = z1 ÷ z2)， 而且同以前一样，z1 称为被除数，z2 称为除数. 利用复数除法的定义可以证明，