2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 2．如图，内接于，是的直径，作，与的延长线交于点，，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3．如图，点E在以为直径的圆O上，点C是的中点，过点C作垂直，交的延长线于点D，连接交于点F．    (1)求证：是圆O的切线． (2)若，，求的长． 4．如图，是的直径，为上一点，平分交于点．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 5．如图，中，，点D在边上，以为直径画与交于点E． (1)求证是的切线； (2)若，求的长度． 6．如图，在中，是它的角平分线，，D在边上， ，以为直径的圆O经过点E． (1)求证：是的切线； (2)求图中阴影部分的面积; 7．如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．如图，在ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆，刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B． (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若BD=8，tanB=，求⊙O的半径． 9．如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 10．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求AD的长． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． (1)求证：直线AB是⊙O的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 12．如图，AB为⊙O的直径，弦于，连接，过作，交⊙O于点，连接DF，过作，交DF的延长线于点． （1）求证：BG是⊙O的切线； （2）若，DF=4，求FG的长． 13．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度． 14．如图①，是的弦，，垂足为P，交于点E，且，． （Ⅰ）求的半径； （Ⅱ）如图②，过点E作的切线，连接并延长与该切线交于点D，延长交于C，求的长． 15．如图，以为直径作半圆O，C是半圆上一点，的平分线交于点E，D为延长线上一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 16．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 17．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．    （1）求证：△AED≌△CEB； （2）求证：FG⊥AD； （3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由． 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OD∥BC，交AC于点D．    （1）求∠ADO的度数； （2）延长DO交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交CB延长线于点F，连接DF交OB于点G． ①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由； ②若BG＝2，AD＝3，求四边形CDEF的面积． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得由线段垂直平分线的性质可得由可得证明 ，从而可得结论； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得再由勾股定理求出相关线段长即可． 【详解】（1）证明∵O为圆心， ∴， ∵， ∴即∠， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴ ∴∠，即 又AB是圆O的直径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， 由（1）知， ∵∠ ∴ ∴ 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理以及求锐角余弦值，熟练运用相关知识解答本题的关键． 2．(1)见解析 (2)6 【分析】(1) 如图，连接，则，，因为，所以 ，于是可证，所以是的切线； （2）由（1）结论及已知易证，所以，再求证，所以，进而解得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∴，即， 是的半径， 是的切线． （