2.6.1 双曲线的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.6.1 双曲线的标准方程 新授课 1.了解双曲线的定义. 2.掌握双曲线的标准方程及其图形表示. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 情景：如图所示，某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：A，C两个观测点同时听到了一声巨响，B点听到的时间比A点晚4s，已知各观测点到该中心的距离都是1020 m. 假定当时声音传播速度为340m/s，发出巨响位置为点P，且A，B，C，O，P均在同一平面内. 该怎样确定巨响发生的点的位置？ |PB|-|PA|=4×340=1360. A O B C 分析：A，C同时听到响声，则P在AC的垂直平分线上； 因为观测点B听到声音比A晚4s，则P距离B更远，且 满足上式的点P的位置组成什么图形呢？ 知识点一：双曲线的定义 新课讲授 学习目标 课堂总结 如果没有“绝对值”这个条件时，仅表示双曲线的一支. F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足： 的动点P的轨迹称为双曲线. 双曲线的定义 | |PF1|-|PF2| |=2a F1 F2 焦距 焦点 P ①两个定点F1，F2——双曲线的焦点； ②两焦点之间的距离|F1F2|=2c——双曲线的焦距； ③a<c. 概念讲解 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，将拉链的一边截去一部分，将两端用图钉固定在两定点F1，F2 处. 将笔尖放在拉锁处，随着拉链沿不同部分拉开，笔尖就会画出一条曲线.调换拉链两端，重复刚才操作，画出另一条曲线. 问题：上述操作画出的曲线有什么特点？是什么曲线？ 曲线上的点到定点F1，F2的距离之差为定值. 曲线为双曲线. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题2：类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 知识点2：双曲线的标准方程 以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. x O y 建系 F1 F2 新课讲授 学习目标 课堂总结 F1 F2 P x O y (x，y) 设双曲线的焦距为2c(c>0)， 则F1(-c，0)，F2(c，0)， 设P(x ， y)为双曲线上一点，||PF1|-|PF2||=2a. 设点 列式 ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 化简 ② 新课讲授 学习目标 课堂总结 得： 两边平方，整理可得： 因为c>a>0，所以令b2=c2-a2，且b>0，则可得： 双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是方程③的解; ③ 新课讲授 学习目标 课堂总结 通常称为焦点在x轴上的双曲线的标准方程. F1 F2 M x O y (x，y) 所求双曲线的方程为： 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考2：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴的双曲线的标准方程是什么？ F1 F2 P x O y 如图，双曲线的焦距为 2c ，焦点分别是 F1(0 ，-c)，F2(0 ，c)．a ，b 的意义同上，这时双曲线的方程是 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 双曲线标准方程 图形 方程 焦点 a，b，c 之间的关系 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) c2=a2+b2 a，b大小不定 F1 F2 P x O y F1 F2 P x O y 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考3： 如何根据双曲线的方程，判断焦点所在的坐标轴？ 如果x²的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y²的系数是正的，则焦点在y轴上. 记忆口诀：化成标准形式，焦点跟着正项走 新课讲授 学习目标 课堂总结 (1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)，(5，0)且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8. (2)双曲线的一个焦点坐标是(0，6)，且双曲线过点A(-5，6) 例1 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： 解：(1)由已知得c=5，2a=8，所以a=4，b2=c2-a2=9. 因为焦点在x轴上，所以所求方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)由已知得另一焦点坐标是(0，6)，c=6. (2)双曲线的一个焦点坐标是(0，6)，且双曲线过点A(-5，6). 所以a=4， 又因为焦点在y轴上，因此所求方程是 因为A在双曲线上，所以A到两焦点距离之差的绝对值是 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 已知F1(-2，0)，F2(2，0)，动点P满足 求动点P的轨迹方程. |PF1|-|PF2 |=2 解：因为=1<2，所以根据双曲线的定义可知，P一定