专题16.5 二次根式的乘除（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.5 二次根式的乘除（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即·=（a≥0，b≥0） 特别提醒 1. a·c=ab（b≥0，d≥0）； 2.··=（a≥0，b≥0，c≥0）； 【知识点二】二次根式的除法 二次根式的除法法则是（a≥0，b＞0） 特别提醒 1. 只有当a≥0，b≥时，·==·才成立 只有当a≥0，b＞0时， =、·才成立 2. 格法则中a、b既可以是数，也可以是代数式. 3. 如果被开方数是带分数，应先将带分数化为假分数，再化简 4. 最后结果中被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母. 【知识点三】积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的乘积，即=·（a≥0，b≥0） 特别解读 积的算术平方根可以推广，即·······（a，b，······c都是非负数）. 【知识点四】商的算术平方根 商的算数平方根等于被除式的算数平方根，即=（a≥0，b＞0） 特别解读 （a≥0，b＞0，n≠0） 【知识点五】最简二次根式 定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2，都是最简二次根式. 特别解读 二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或整式. 【考点目录】 【考点1】最简二次根式的判断； 【考点2】化简为最简二次根式； 【考点3】由最简二次根式➼求参数； 【考点4】二次根式乘法运算； 【考点5】二次根式除法运算； 【考点6】二次根式混合运算. 【考点1】最简二次根式的判断； 【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． （1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点拨】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【变式1】（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”进行判断即可． 解：A. ，不是最简二次根式，不合题意； B. ，不是最简二次根式，不合题意； C. ，不是最简二次根式，不合题意； D. ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2020上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）在二次根式中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 解：，因此不是最简二次根式； 由于时，所以是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 【点拨】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 【考点2】化简为最简二次根式； 【例2】（2022上·宁夏银川·八年级校考阶段练习）化简： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可． 解：（1）； （2） ； （3）． 【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【变式1】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可． 解：，运算正确，故A不符合题意； 当，时，不成立，故B符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； ，运算正确，故D不符合题意； 故选B 【变式2】（2023上·上海杨浦·八年级统考期中）已知，化简： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取值范围，然后化简二次根式是解题关键． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点3】由最简二次根式➼求参数； 【例3】（2018上·九年级单元测试）已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【答案】 的值是，的值是；（2）． 【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值； （2）根据