精品解析：广东省广州市培正中学2022届高三下学期期中数学试题

广东省广州市培正中学2021-2022学年高三下学期 期中考试卷数学试题 满分：150分；时间120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应点的坐标为 A. B. C. D. 3. 设平面向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，、、的对边长分别为a、b、c. 命题甲：，且. 命题乙：是正三角形. 则命题甲是命题乙的条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 8. 已知函数的部分图像如图所示.若，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：）记其均值为，中位数为，标准差为，则（ ） A. B. C. 新数据：的标准差为 D. 新数据：的标准差为 10. 从到通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍 B. 若不改变信道带宽和信道内信号平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍 C 若不改变带宽，而将信噪比从255提升至增加了 D. 若不改变带宽，而将信噪比从999提升至大约增加了 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数存在极值点 B. 若函数在点处的切线方程为直线，则 C. 点是曲线的对称中心 D 当时，函数有三个零点 12. 如图，正方体中的正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 平面 C. 平面截正四面体所得截面面积 D. 正四面体的高等于正方体体对角线长的 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 甲、乙、丙、丁四名同学参加三个课外兴趣小组，每名同学只参加1个小组，每个小组至少1名同学参加，则甲、乙不去同一小组的方法种数为______． 14. 已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为和，则此正四棱台的体积为___________. 15. 定义在上的偶函数满足：对任意，都有，且时，．若函数（且）在上有个零点，则的取值范围为________． 16. 已知双曲线的右焦点为，离心率为，过原点的直线与的左右两支分别交于两点，若，则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效， 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答. 的内角所对应的边分别为，已知___________，. （1）求的值； （2）求的面积. 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点. （1）求证：平面EAC； （2）若，试求二面角的正切值. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有最小值为，证明：在上恒成立． 20. 已知等差数列的前n项和为，且．当时，． （1）求数列通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 21. 某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究. （1）该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的