云南省广南县第一中学校2023-2024学年高三上学期数学周测卷（16）

2024届高三数学周测试卷（16） 内 容: 立体几何、数列 训练时间：60分钟 班级： 姓名： 一、单选题(每题5分共20分) 1．已知圆台的上底面半径为，该圆台的内切球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱锥内切球的半径为，且，则正四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在梯形中，且，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(每题5分共10分） 5．如图，在正四棱柱中，，O为此正四棱柱的外接球球心，下列说法正确的是（    ） A． B．球的表面积为 C．点到的距离为 D．四棱锥的表面积为 6．如图，在四面体中，，，， 为的中点，点是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．四面体的体积为 D．异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题（每题5分共10分） 7．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 . 8．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 四、解答题 9（10分）．如图，在正方体中，分别为棱的中点. (1)请在正方体的表面完整作出过点的截面.（只需写出作图过程，不用证明） (2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比. 10．（12分）如图，在四棱台中，已知，. (1)证明：平面； (2)若四棱台的体积为，求二面角的余弦值. 11．（12分）已知数列的首项，前n项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)令，求函数在处的导数． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A【详解】设该圆台的内切球的半径为，下底面半径为， 易知球的轴截面与圆台的轴截面内切，如图所示， 由题知，，，圆台的高为，母线长为， 在中，，即，解得， 圆台的体积为，故选：A. 2．D【详解】在正四棱锥中，连接，，，连， 则平面， 设，则， 由等体积法可得， 故，解得， 故 故选：D． 3．C【详解】根据向量的线性运算法则，可得 ， 因为三点共线，可得，即； 又由， 因为三点共线，可得，即， 联立方程组，解得，所以. 故选：C. 4．D【详解】如图，取AD的中点M、CD的中点N，连接， 因为E为BC的中点，M为中点，由正方体的性质可得， ，，所以四边形是平行四边形， 所以，，又因为，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以，由正方体的性质可得,，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为M为中点，N为中点， 所以，所以，因为平面，平面， 所以平面，平面，又，所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以动点F的轨迹为线段， 又，故动点F的轨迹长度为．故选：D． 5．ACD【详解】由于四棱柱为正四棱柱，所以底面为正方形， 故平面， 因此平面,平面,所以，A正确， 由正四棱柱的性质可得其外接球的球心为的中点，为外接球一条直径， 因为， 所以正四棱柱的外接球的半径为，其表面积为，B错误， 由于平面，平面，所以， 在中，由于,为的中点， 所以点到的距离为,故C正确， 由于为的中点，所以四棱锥为正四棱锥，且侧棱长为，因此侧面上的高为,则侧面积为, 底面积为4，故四棱锥的表面积为，D正确，故选：ACD 6．ABD【详解】对A：连结，如图，在四面体中，，，，为的中点，所以，，且，.所以，所以. 又因为，平面，所以平面，故A正确； 对B、C、D：连接，由A知，平面，平面，所以，，所以，故B正确； 因为与平行，所以与所成的角就是与所成角，在直角三角形中，，故D正确； 四面体的体积：，故C错误；故选：ABD. 7．【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，母线长为， 则球的体积为，所以，所以圆柱表面积为. 故答案为：. 8．【详解】连接，，，取中点，连接，， ∵四边形，为矩形，∴，， 平面平面，平面，平面， ∴即为二面角的平面角，∴， 又，，∴，∴为等边三角形，∴； ∵，分别为，中点，∴，， ∴或其补角即为异面直线与所成角， ∵，∴， ∴， 所以异面直线与所成角的正弦值为．故答案为：． 9．【详解】（1）连接并延长交于，连接并延长交于，于，连接交于， 则截面即为所求； （2）连接，如图， 则截面下部的体积. 设正方体的棱长为