第五章 相交线与平行线——平行线动点题 练习 2023—2024学年人教版数学七年级下 册

（典例1）．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动__________秒后，与平行． （典例2）．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． （典例3）问题情境：如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1) 按小明的思路，易求得的度数为___________度；（直接写出答案） (2) 问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3) 在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出与、之间的数量关系，并说明理由． （典例4）．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行． （典例5）已知：直线，点M、N分别在直线、直线上，点E为平面内一点， (1) 如图1，请写出之间的数量关系，并给出证明； (2) 如图2，利用（1）的结论解决问题，若，平分，平分，，求的度数； (3) 如图3，点G为上一点，，， 交于点H，请写出，，之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明． （典例6）．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． （典例7）．16．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 　 　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ （典例1）．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动__________秒后，与平行． 答案．30或110 【分析】设射线QC转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 解：设QC转动后与AB交于点M，PB转动后与CD交于点N， 当0＜t＜90时，如图1， ∵ABCD， ∴∠BPN=∠PNC， ∵PNMQ， ∴∠CQM=∠PNC， ∴∠CQM=∠BPN   ∴2t=1•（30+t）， 解得 t=30； ②当90＜t＜150时，如图2， ∵ABCD， ∴∠BPN+∠PND=180°， ∵PNQM， ∴∠MQD=∠PND ∴∠BPN+∠MQD=180° ∴1•（30+t）+（2t-180）=180， 解得  t=110， 综上所述，射线QC转动30或110秒，两射线互相平行； 故答案为：30或110． 【点拨】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． （典例2）．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′