第06讲 复数的四则运算（2个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高一数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第二册）

第06讲 复数的四则运算（2个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.复数的加、减运算及其几何意义 知识点2.复数的乘、除运算 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.复数的加、减运算及其几何意义 1．复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数加减法的几何意义 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应． 规律方法 1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 3．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 4．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 5．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆． 例一、单选题 1．（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知复数的共轭复数是，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为（    ） A．3 B． C．2 D． 例二、解答题 4．（2023·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．（2023·全国·高一随堂练习）类比复数加法的几何意义，请写出复数减法的几何意义． 知识点2.复数的乘、除运算 例一、单选题 1．（2024·河南·模拟预测）复数的实部与虚部之和为（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 2．（2023上·西藏林芝·高三统考期末）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 3．（2022上·安徽安庆·高三校考期末）若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．（2024·全国·模拟预测）已知，复数，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 例二、解答题 5．（2024·全国·高三专题练习）设，，，，为个复数． (1)如果，求证：； (2)若，则有什么样的结果？ 【方法练】 一、单选题 1．（2022·全国·校联考模拟预测）下列关于复数的四个命题中，错误的是（    ） A． B． C．z的共轭复数为-1+i D．z的虚部为-1 2．（2021·四川成都·石室中学统考一模）已知（，，i为虚数单位），复数，则（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 3．（2022·山东济南·统考模拟预测）若，，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．是实数 4．（2023下·辽宁丹东·高一统考期末）在复平面内，是坐标原点，，则（    ） A．的虚部为 B． C． D． 三、填空题 5．若复数是纯虚数，则实数的值是 . 6．（2020下·高二课时练习）对个复数，，…，，如果存在不全为零的实数，，…，，使得等式，则称复数，，…，线性相关；反之，称为线性无关.那么复数，，的关系为 . 四、解答题 7．（2021·高一课时练习）（1）；（2） （3）；（4）； （5）；（6）. 8．（2021·江苏·高一专题练习）已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位）， （1）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． （2）若复数z1＝cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求复数|z﹣z1|的取值范围． 【创新练】 一、单选题 1．（2022·江西·校联考模拟预测）设i为虚数单位，，复数对应的点在第一