第02讲 平面向量的运算（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2023-2024学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的运算 知识点1： 向量的加法运算 （1）向量加法的定义及两个重要法则： 1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法. 2. 运算法则： ①三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和 的和（或和向量），记作，即． ②平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以， 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边 形法则． 　　　　　 （2） 多边形法则： 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 知识点2：向量的加法运算定律 向量加法的交换律： 向量加法的结合律： 关于： 知识点3：向量的减法运算 （1）相反向量 我们规定,与向量“长度相等,方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作 -a 零向量的相反向量仍是零向量 由相反向量的定义,我们有如下结论:　　　 (1) -( -a) =a; (2)a+( -a) =( -a) a=0; (3)若a,b 互为相反向量,则a= -b,b= -a,a +b=0. （2）向量减法的定义 向量a加上b的相反向量,叫做a 与b的差,即a-b=a +(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法 向量减法的三角形法则 如下图,已知向量a,b,在平面内任取一点 0,作 =a,=b则=-=a-b.即a -b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 知识点4：向量形式的三角不等式 （1）当向量a,b不共线时,作=a,= b,则a+b = ,如图(1),根据三角形的三边关系,有llal - lbll <la +bl < lal +Ibl. （2）当a 与b同向共线或a,b 中至少有一个为零向量时,作法同上,如图(2),此时la +bl =lal +lbl;当a与b反向共线或a,b 中至少有一个为零向量时,不妨设lal >lbl,作法同上,如图 (3),此时la +bl =llal - lbll.故对于任意向量a,b,总有llal -lbll<la +bllal +lbl① 由于la-bl =la +( -b)l，所以llal-l-bll≤la-bl≤lal +l-bl,即llal-lbll<la-bl<lal +lbl ②，将①②两式结合起来,即llal -lbll<labllal + lbl,我们称之为向量形式的三角不等式。 知识点4：向量的数乘运算 （1）向量的数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 a,它的长度与方向规定如下: (1) (2) 当>0时,a 的方向与a 的方向相同;当<0时,a 的方向与a 的方向相反 （2）向量的数乘的几何意义 (1)当>1时,有 > lal,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(>1)或反方向( < -1)上伸长到原来的倍; (2)当0<<1 时,有 < lal,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(0<<1)或反方向( -1 <<0)上缩短到原来的倍 （3）向量的数乘的运算律 设,从为实数,那么(1);(2); (3). 特别地,我们有( -)a = -(a) =( -a),(a -b) =a -b. （4）向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a,b. 以及任意实数,,恒有 知识点5：向量共线定理 向量共线的条件： 如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一个实数，使． 【题型1 向量的加减运算】 【典例1】如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若为单位向量，求、和． 【变式1-1】化简 （    ） A． B． C． D． 【变式1-2】化简下列各式: (1) (2) 【变式1-3】已知用向量加法的三角形法则作出. (1)； (2). 【典例2】化简下列各式： (1) (2) 【变式2-1】简化 ． 【变式2-2】如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【题型2 三角形( 平行四边形 ) 法则的应用】 【典例3】如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）      A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在平行四边