第01讲 平面向量的概念（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2023-2024学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的概念 知识点1： 向量的实际背景与概念 (1)数量与向量 在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量,而把只有大小没有方向的量称为数量. 注意：向量不能比较大小.数量可以比较大小. (2)向量的二要素 向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征,方向是几何特征. 知识点2： 向量的几何表示 （1）有向线段的概念 具有方向的线段叫做有向线段. 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向,以 A为起点、B 为终点的有向线段记作 （如图）； 以B 为起点,A 为终点的有向线段记作(如图 ). 注意：起点一定要写在终点的前面。 ①有向线段的长度线段 AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作,易知= ②有向线段的三要素 有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了. (2)向量的表示 几何表示：向量可以用有向线段表示,我们把这个向量记作向量 字母表示：向量也可以用字母a,b,c,···表示. 注意：印刷用黑体a,b,c,书写用 ,注意区分. （3）向量的长度 向量AB的大小称为向量的长度(或称模),记作.向量的长度在数值上等于线段 的长度,因此向量的长度是非负实数。 （4）两种特殊的向量 长度为0的向量叫做零向量,记作0 注意：0与0的区别及联系,0是一个实数，0是一个向量，且有=0.长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量. 知识点3：相等向量与共线向量 （1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． （2）向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线． 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量， 记作∥． 说明：共线向量的方向相同或相反，　 注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同． 知识点4：用共线(平行 )向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等,利用向量相等可以证明线段平行且相等（需说明向量所在的直线无公共点） (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行 (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形等腰三角形等)证明多点共线等. 【题型1 向量的概念】 【典例1】下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【变式1-1】已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起点是M D．终点是M 【变式1-2】用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【题型2 向量的几何表示】 【典例2】在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【变式2-1】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式2-2】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【变式2-3】已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【题型3 向量相等或共线】 【典例3】如图，O是正六边形ABCDEF的中心.    (1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个? (2)图中所示的向量中与共线的向量有几个? 【变式3-1】如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 【变式3-2】如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出的负向量； (3)写出与平行的向量； (4)写出与长度相等的向量． 【典例4】多选题下列命题中错误的有（    ） A．起点相同的单位向量，终点必相同； B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形； C．若，则； D．若，则 【变式4-1】若向量与向量不相等，则与一定（　　） A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 【