第07讲 平行四边形的性质（6大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第07讲 平行四边形的性质 1．平行四边形的概念 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义既是性质，又是判定． （1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行； （2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形． 平行四边形的基本元素：边、角、对角线． 2．平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【归纳】（1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据； （2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； （3）利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决． 3．两条平行线之间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 性质：（1）两条平行线之间的距离处处相等； （2）夹在两条平行线间的平行线段相等． 1. 平行四边形对边平行且相等. 几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC. 2、平行四边形对角相等、邻角互补. 几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°. 3、平行四边形对角线互相平分. 几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC=AC,BO=OD=BD. 考点剖析 考点一、平行四边形边的性质 【例1】如图，在平行四边形中，是的平分线，F是的中点，，，则为（    ）    A．4∶1∶2 B．4∶1∶3 C．3∶1∶2 D．5∶1∶2 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（    ）    A． B． C． D． 考点二、平行四边形角的性质 【例2】如图，在平行四边形中，，，于E，则 度．    【变式2】如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 考点三、平行四边形对角线的性质 【例3】如图，在中，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 .    【变式3】已知的周长是，、相交于点，的周长比的周长大，那么 ． 考点四、两平行线之间的距离 【例4】在同一平面内，有相互平行的三条直线，，，且，之间的距离为1，，之间的距离是2，若等腰的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，，则的面积是 ． 【变式4】如图，若A，D在直线m上，B，E在直线n上，四边形是平行四边形，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为 ． 考点五、平行四边的性质的有关计算与证明 【例5】如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．    （1）求证：AB=CF； （2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF． 【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 考点六、平行四边形边的性质综合应用 【例6】如图，中，把沿翻折得到，相交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形． 【变式6】问题：如图，在平行四边形中，，的平分线分别与直线交于点E、F，请直接写出的长． （1）探究：把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变． ①当点E与点F重合时，的长为　　． ②当点E与点C重合时，的长为　　． （2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值． 过关检测 一、单选题 1．在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知，若的周长是15，则的周长是(   )    A．26 B．24 C．20 D．18 3．在中，对角线、交于点O，若，，，则的周长为（　　） A．13 B．16 C．18 D．21 4．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，平行四边形的面积为，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知平行四边形，点E为边上任意一点，连接并延长，与的延长线相交于点H，连接，，要算出的面积，则只需知道