专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 题型八 利用平方根解方程 题型九 平方根的应用 【知识梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（2023上·山东青岛·八年级统考期中）下列说法正确的是（　　） A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根 C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4 【变式训练】 1．（2022下·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）已知3既是的平方根，也是的立方根，则关于的方程的解是（    ）． A． B． C．或 D．或 2．（2023春·河北邢台·七年级校考期中）若2023的两个平方根是和，则的值是（    ） A．0 B．2023 C． D．4046 3．（2022秋·浙江·七年级期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 4．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）阅读与理解 阅读学习过程，完成“步骤二”中的填空和“步骤三”的求值． 我们在华东师大版八年级上册，学习了平方根的意义和两个乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一节课的探究学习片断： 步骤一：再探公式，猜想规律 ，，． 发现这两个公式中包含了两数和、两数差、两数积、两数平方和、两数平方差，在这五个数量中，是否存在“知二求三”的一般性规律呢？ 步骤二：推导变形，得出公式 由可得，． 由也可得______，______． 综合这两个公式还可得出：______，______． 进一步综合变形推导可得：或（依据是______）或， 同理可得：求的公式为______． 步骤三：迁移运用，提升能力 若，，请运用“步骤二”中推导出的变形公式，求，，的值． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（2023下·七年级课时练习）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．25的算术平方根是5 C．的平方根是±9 D．－36的算术平方根是6 【变式训练】 1．（2023上·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）按如图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为（    ） A． B． C．3 D． 2．（2023春·湖南湘西·七年级校联考期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是2 B．的算术平方根是2 C．1的平方根是1 D．0的平方根与算术平方根都是0 3．（2023春·山西吕梁·七年级校考期中）若与的和是单项式，则的算术平方根是 ． 4．（2023春·重庆巴南·七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数．为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中为有理数，求和的值； (2)如果，其中为有理数，求的立方根； (3)若均为有理数，且，求的算术平方根． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（2024下·全国·八年级假期作业）若a，b为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【变式训练】 1．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习