专题04 实数重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题04 实数重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数的性质 题型四 实数的大小比较 题型五 无理数的估算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 实数的混合运算 题型八 程序设计与实数运算 题型九 新定义下的实数运算 题型十 实数运算的实际应用 题型十一 与实数运算相关的规律题 【知识梳理】 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（2023上·安徽·八年级校联考开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【变式训练】 1．（2021下·七年级课时练习）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 3．（2023春·全国·七年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 【经典例题二 实数的分类】 【例2】（2023上·浙江金华·七年级校联考期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数x的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数． 其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）下列说法正确的是（    ） A．实数分为正实数和负实数 B．是分数 C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根 2．（2023春·七年级单元测试）将下列各数进行分类（填序号即可） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0“． 正整数：　　； 分数：　　； 无理数：　　． 3．（2023秋·八年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中． ，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                              …}； (2)无理数集合：{                              …}； (3)正实数集合：{                              …}； (4)负实数集合：{                              …}． 【经典例题三 实数的性质】 【例3】（2021上·河北保定·七年级校考期中）已知如图①，图②中所写结论正确的个数是（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（2022下·安徽安庆·七年级统考期中）下列说法： ①一个无理数的相反数一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数； ③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算； ④实数的倒数是． 其中，正确的说法有（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 2．（2023春·湖北黄石·七年级统考期末）已知，为