6.4.3 余弦定理、正弦定理第2课时 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019)必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是30m，∠B=45°，∠C=60°，根据这些数据能解决这个问题吗？ 课堂导入： C 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理 2.能用正弦定理解三角形 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 问题1：直角三角形△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a，b，c表示，怎样用a，b，c表示角A，B，C的正弦？ 知识点：正弦定理 问题2：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 锐角三角形： 在锐角∆ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 则 与 的夹角为 与 的夹角为 B A C 因为 所以 得 即 思考：向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ 化简得 所以 过点C作 与垂直的单位向量 可得 因此 新课讲授 学习目标 课堂总结 钝角三角形： 在钝角∆ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 则 与 的夹角为 与 的夹角为 B A C 同理可得 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：设 那么这个比值有什么特殊含义？ c是Rt△ABC，△ABC'外接圆的直径. 所以对任意△ABC，均有 c O A B C a b B' (R为△ABC外接圆的半径). 无论怎么移动B'，都有 所以在△ABC'中 新课讲授 学习目标 课堂总结 (1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC； (2) (3)a：b=sinA：sinB，a：c=sinA：sinC，b：c=sinB：sinC 正弦定理的变形： 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形？ （1）已知两个角一边； （2）已知两边与其中一边的对角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1：在△ABC中，已知A=15°，B=45°，c=3+ 解这个三角形. 由正弦定理，得 由三角形内角和定理得C=120°. 解： 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2：在△ABC中，已知B=30°，b= c=2，解这个三角形. 解：由正弦定理，得 (1)当C=45°时，A=105° 且 或 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2：在△ABC中，已知B=30°，b= c=2，解这个三角形. (2)当C=135°时，A=15° 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：为什么角C 有两个值？ 在区间(0,π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦函数求角，只有一解；正弦函数在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以利用正弦函数求角，可能有两解. 新课讲授 学习目标 课堂总结 C 回到情境中的问题：已知△ABC中∠B=45°，∠C=75°，和长度BC=30m,求距离AB. 练一练 解：∠A=180°-75°-45°=60° 所以 AB≈33.4(m)． b c a 由正弦定理，得 而a=30， 新课讲授 学习目标 课堂总结 要点概括整合 正弦定理 正弦定理 应用 正弦定理的变形 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$