抛物线 专项训练——2024届高三数学一轮复习

抛物线 一、知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、常用结论 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 三、典例训练 一、单选题 1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（    ） A． B．（0，－1） C． D． 6．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（    ） A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 7．（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（    ） A． B． C．2 D．4 8．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 10．（2023·广东惠州·统考一模）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于、两点，其中在第一象限，若，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴相切 D． 11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ） A．点的坐标为 B．若直线过点，则 C．若，则的最小值为 D．若，则线段的中点到轴的距离为 12．（2023·全国·模拟预测）已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论正确的是（    ） A．直线过定点； B．的斜率不存在； C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称； D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值. 三、填空题 13．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ． 14．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知正（O为坐标原点）的顶点在抛物线上，则的边长等于 ． 15．（2023·陕西·校联考模拟预测）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm. 16．（2022·陕西·校联考模拟预测）已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则 . 17．（2023·湖南·校联考二模）已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛