2.3.2 圆的一般方程课件——2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.3.2 圆的一般方程 新授课 1. 理解圆的一般方程及其特点. 2.理解方程满足圆的方程的条件，会进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3. 能根据给定条件，运用待定系数法求圆的一般方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 ：(1)圆 (x – 1)2 + (y - 2)2 = 9 的圆心坐标、半径分别是什么？展开该方程，方程是何形式？ 展开式：x2 + y2 – 2x - 4y -4 = 0. 圆心坐标：(1， 2)；半径为3； (2)若展开圆的标准方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 展开得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0， 由于 a，b，r 均为常数，可令 D =– 2a ， E =– 2b， F =a2 + b2 – r2， 则这个方程可以表示成：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. 知识点一：圆的标准方程 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 圆的一般方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 O x y A r M (x – a)2 + (y – b)2 = r2 圆的标准方程： 其中D = – 2a ， E = – 2b， F =a2 + b2 – r2 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题2：圆的一般方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则下列二元二次方程中，哪些一定不是圆的方程？ （1）x2+2y2-2x-3y+7=0 （2）x2+xy+y2-3x-4y+5=0 （3）2x2+2y2-4x-4y+1=0 （4）x2+y2-2x-2y+3=0 圆的一般方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的特点： ①x2 与 y2 系数相同且不等于 0； ②方程中无xy项. （1）x2 与 y2 系数不相同，（2）xy项系数不为0，都不是圆的方程； （3）（4）形式与圆的一般方程形式一致，可能是圆的方程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知 都是P上的点，求这个圆的方程. 解：方法1：(标准方程)设P的圆心坐标为 ，半径为r (r>0). 则P的标准方程为 由题意得， 解得a=-3，b=1，r2=25. 因此，所求圆的方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 方法2：(一般方程)设所求圆的方程为 因为A(0，5)， B(1，-2)，C(-3，-4)都是圆上的点，代入得 解得 因此，所求圆的方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 待定系数法求圆的方程 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程. 注意： ① 若知道或涉及圆心和半径，一般采用圆的标准方程较简单； ② 若已知三点求圆的方程，常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题3：与 下列三个方程是否是圆的方程？为什么？ ①2x2+2y2-4x-4y+1=0 ；②x2+y2-2x-2y+2=0；③x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0. 知识点二：满足圆的方程的充分条件. 所以上述方程是圆心在(1，1)，半径为的圆. 满足上述方程的实数只有x=1，y=1，因此不是圆的方程. ① ② 新课讲授 学习目标 课堂总结 ③ x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 ⟺ (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1 因为-1<0，不满足圆的定义，即不可以化成圆的标准方程形式 所以方程x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0不是圆的方程. 结论： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程不一定是圆的方程. 问题3：与 下列三个方程是否是圆的方程？为什么？ ①2x2+2y2-4x-4y+1=0 ；②x2+y2-2x-2y+2=0；③x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①中的 D、 E、 F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ 将方程①配方得： ， (1)当D2 + E2 – 4F >