4.3.2 独立性检验 课件——2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 独立性检验 新授课 本题中要得P(A)，P(B)， P(AB)的准确值需耗费巨大的人力、物力等，比较难确定，甚至是不可能的. P(AB)=P(A)P(B) 任意抽取某市的一名学生，记A：喜欢长跑，B：是女生. 如果事件A，B独立，P(A)，P(B)， P(AB)满足的充要条件是什么？ P(A)，P(B)，P(AB)的准确值易得吗? 如何判断A、B是否独立？ 1.通过实例理解2×2列联表的统计意义. 2.了解2×2列联表独立性检验及其应用. 新课讲授 学习目标 课堂总结 因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表. 通过调查，我们获取了下述数据：抽查了110人，其中女生有50人；且这110人中，喜欢长跑的有60人，其中女生有20人. 将数据整理成如下表格形式. 喜欢长跑 不喜欢长跑 总计 女 20 30 50 男 40 20 60 总计 60 50 110 新课讲授 学习目标 课堂总结 喜欢长跑 不喜欢长跑 总计 女 20 30 50 男 40 20 60 总计 60 50 110 喜欢长跑的概率P(A)可以估计为 是女生的概率P(B)可以估计 喜欢长跑且是女生的概率P(AB)可以估计为 由2×2列联表可知： 新课讲授 学习目标 课堂总结 因为P(A),P(B),P(AB)都是根据样本数据得到的估计值,而估计是有误差的,因此直接用是否成立来判断A与B是否独立是不合理的. 思考：由上表可得P(A),P(B),P(AB)的估计值,此时可以用P(AB) =P(A)P(B) 是否成立来判断A与B是否独立吗？为什么？ 如果A与B独立，那么P(A)P(B)应该可以作为P(AB)的近似值，这是从统 计意义上做出的合理推断，即尽管随机性会对数据的准确性带来影响，但 理论上，如果A与B是独立的，则这种影响也一定不会太大. 新课讲授 学习目标 课堂总结 因此从理论上可知，如果A，B独立，喜欢长跑的女生数可以估计为 110P(A)P(B) 而实际上，喜欢长跑的女生数为 110P(AB)， 不会太大. ① 因此 ② ③ ④ 不会太大. 类似地，考虑与B，A与与，可知 新课讲授 学习目标 课堂总结 若记①+②+③+④=χ2(读作“卡方”)，代入数据算得χ2=7.8. 概率学上可以证明，如果A与B独立，则χ2≥6.635的概率只有1%，即P(χ2≥6.635)=1%. 因为χ2=7.8>6.635，所以若A与B独立(即“喜欢长跑”与“是女生”独立)，则此事件的概率不超过1%. 即：在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立(也称为是否喜欢长跑与性别有关)；或说有99%的把握认为是否喜欢长跑与性别有关. 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般情况下，如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下 A 合计 B a b a+b c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 记n=a+b+c+d，则由表可知： (1) (2) (3) 独立性检验 概念生成 新课讲授 学习目标 课堂总结 此时P(AB)与P(A)P(B)的估计值相差不大，因此 不会太大. 类似地，考虑与B，A与与，可知 都不会太大， 也不会太大. 因此这四个数的和 提出假设H0：A与B独立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 另外，任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件 的数k(称为显著性水平α对应的分位数). 若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1-α的把握认为A与B有关.即假设H0不成立. 若χ2<k成立，就称不能得到前述结论. 这一过程通常称为独立性检验. P(χ2≥k)=α 新课讲授 学习目标 课堂总结 反证法 独立性检验 要证明结论A 在A不成立的前提下进行推理 推出矛盾，意味着结论A成立 没有找到矛盾，不能 对A下任何结论. 归纳总结 提出假设H0 在H0成立的条件下进行推理 与H0相矛盾的小概率事件发生，意味着H0不成立 H0相矛盾的小概率事件没有发生，接受原假设. 新课讲授 学习目标 课堂总结 A与B独立时，也称为A与B无关.当χ2<k成立时，一般不直接说A与B无关， 独立性检验得到的结果 或者是有1-α