5.5 数学归纳法课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.5 数学归纳法 新授课 1. 了解数学归纳法的原理及使用范围； 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论； 3. 能用数学归纳法证明一些简单的命题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境 1：有人看到树上有一只乌鸦，感慨道“真是天下乌鸦一般黑啊！”，请问这个结论正确吗？ 情境 2：如果{an}是一个等差数列，通过下列推定可得： a1 = a1 = a1 + 0×d， a2 = a1 + d = a1 + 1×d， a3 = a2 + d = a1 + 2×d， ······ 归纳可得： an= a1 + (n – 1)d. 这个结论一定正确吗？ 思考：上述命题结论不一定都是正确的，如何解决这些存在的问题呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：数学归纳法 问题 1：已知数列{}中， 且 = , 求出这个数列的第2、3、4、5项，你能由此猜出数列的通项公式并给出证明吗？ 计算可得，a2 = 3，a3 = 5，a4 = 7 ，a5 = 9 ； 由此猜想{}是一个等差数列，且通项公式为：an ① 思考：当 n 较小时，可逐一验证，但当 n 取所有正整数时，如何验证？ 思路：通过有限个步骤的推理，证明 n 取所有正整数时命题都成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 在多米诺骨牌游戏中，一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第1张，则会让第2张倒下，而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下. ① 第一块骨牌倒下； ② 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下； （2）条件 ② 的作用是什么？如何用数学语言描述它？ 递推关系：第 k 块骨牌倒下 ⇒ 第 k + 1 块骨牌倒下. 结论：无论有多少块骨牌，只要保证①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. （1）在游戏中，多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 类比多米诺骨牌游戏证明问题 1 中猜想：数列{an}满足 a1 = 1，= ，则通项公式为 an = ①. 证明：假设时， ①式成立，即 ， 根据已知条件和假设可知， 时， = == 1， 即， ①式也成立， 所以①式对任意的正整数都成立了. 理解：依据当n = k时，①式成立，证明了n = k + 1时， ①式也成立. 已知n=1,2,3,4,5都是成立的，则n=5+1=6也成立，n=6+1=7也成立，依次类推，所以①式对任意的正整数都成立了. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 对所有正整数 n (n ≥ n0，n∈N*)，命题都成立 证明一个与正整数 n (n ≥ n0，n∈N*) 有关的的命题 ⅰ证明当n = n0 (n0∈N*)时 命题成立 ⅱ假设当n = k (k ≥ n0，k∈N*) 时命题成立，证明当n = k + 1 时命题也成立 归纳奠基 归纳递推 一个结论 数学归纳法 两个步骤 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：用数学归纳法证明相关问题 例 1：用数学归纳法证明，对任意的正整数，都有 = 证明： (ⅰ)当时， 左边，右边 ==1， 所以此时等式成立. 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：证明： = (ⅱ)假设当()时， 等式成立，即 =. 则 = = = ， 所以，此时也成立 由(ⅰ)(ⅱ)可知， 等式对任何都成立. 典例剖析 用上假设 通分、提取公因式 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 用数学归纳法证明恒等式时应关注以下三点： (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加或减少了哪些项； (3)证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.用数学归纳法证明 1 + 2 + 3 + ⋯ + 4n = 8n2 + 2n (n∈N*). (1)则当 n = k + 1时，等式两端在 n = k 的基础上是如何变化的？ 练一练 当 n = k (k∈N*) 时，1 + 2 + 3 + ⋯ + 4k= 8k2 + 2k ； 当 n = k + 1 时，1 + 2 + 3 + ⋯ + 4k + ⋯ + 4(k + 1)= 8(k+1)2+2(k+1) ； 故左端应在 n = k 的基础上加上 (4k+1) + (4k+2) + (4k+3) + (4k+4)； 右端应在 n = k 的基础上加上16k+10. (2)请写出证明等式恒成立的完整过程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：以下是某人给出的关于 + ②