5.3.2 等比数列的前n项和课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.3 等比数列 5.3.2 等比数列的前项和 新授课 1. 推导并掌握等比数列的前 n 项和公式； 2. 了解等比数列的前 n 项和公式与函数的关系； 3. 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关的计算问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 传说西塔创造了国际象棋而使国王非常快乐，他决议要重赏西塔，西塔说：“陛下，只需你在本人的棋盘上赏一些麦子就行了，在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”.区区几粒麦子，这有何难，国王欣然同意. 可是在计算完总共所需麦子数量后，国王却彻底傻眼了，你知道为什么吗？ 思考：你觉得国王有足够的麦子放满64格吗？ 学习完今天的内容后，计算出麦子总量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：等比数列的前项和 情境：信息技术高度发展的今天，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播）……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列1，3，9，27，81, … 问题1：如果信息按照上述方式共传播了19轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 为了解决情境中的问题，我们需要计算出等比数列1，3，9，27，81，…的前20项的和，即要算出的值. +…+ ① 3+…+ ② 思考：为什么要两边同时乘以 3 ？ 仔细观察①式和②式的右边，你发现了什么？下一步该如何做？ 在①式两边同时乘以3 x3 x3 新课讲授 学习目标 课堂总结 +…+ ① 3+…+ ② 发现：①式和②式中有很多相同的项，如果作减法，则可以相互抵消. ① 可得， 因此 也就是说经过19轮传播之后，知晓这个信息的人约为17亿，比我国的总人口还多！ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题2：求等比数列{an}的前 n 项和 Sn. 设等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，则{an}的前 n 项和是： Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an ，即 Sn = a1 + a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 ③ 在③两边同时乘以q qSn = a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 + a1qn ④ 由 ③ – ④ 得： Sn – qSn = a1 – a1qn，即 (1 – q)Sn = a1(1 – qn)； 当 q ≠ 1 时，Sn = ； 当 q = 1 时，an = a1，Sn = na1； （错位相减法） 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 等比数列的前 n 项和公式： 由可得： 已知a1，q，n 选用公式（1）更方便； 已知a1 ，q，an选用公式（2）更方便. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知等比数列的公比为，且，求这个数列前8项的和. 典例剖析 解：，， n=8，因为 ， 所以， 因此255. 本题可以用第(2)个公式求解吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知等比数列中，，求这个数列前10项的和. 典例剖析 解：由等比数列的通项公式可列方程组 两式相除约分解得 ，， 因此. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 等比数列的求解策略 (1)知三求二：利用这五个基本量的关系列方程求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用与列方程组求解． (2)要注意公比和两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元． 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.已知数列{an}是等比数列. （1）若 a1 = 1，q = 2，求 S8 ； （2）若 a1 = 2，q = 1，求 S2021； 解：（1）因为 a1 = 1，q = 2，n=8，所以 S8 = = 28 – 1=225； （2）因为 a1 = 2，q = 1，所以 S2021 = 2021×2 = 4042； 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：等比数列的前 n 项和公式与函数的关系 问题3：在等比数列{an}中，Sn与n