5.2.2 等差数列的前n项和 第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.2.2 等差数列的前项和 第 2 课时 新授课 Sn = （1） Sn = na1 + d （2） 回顾： 说说什么是等差数列的前 n 项和公式？ 如何选取合适的公式解决问题？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 通过分析比较，理解等差数列前项和公式与二次函数的关系； 2. 掌握用等差数列的通项公式与前 n 项和公式求解 Sn 最值的方法； 3. 运用等差数列前 n 项和公式解决实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 知识点 1：等差数列的前项和公式与函数的关系 问题1：在等差数列{an}前 n 项和 Sn = na1 + d中， Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 展开： Sn = na1 + d = na1 + d – d = n2 + (a1 – )n ， 新课讲授 学习目标 课堂总结 Sn = n2 + (a1 – )n O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) ① d = 0：Sn = a1n，一条过原点的直线上均匀分布的点； ② d < 0：一条开口向下的过原点的抛物线上均匀分布的点； ③ d > 0：一条开口向上的过原点的抛物线上均匀分布的点； 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 等差数列的 Sn = n2 + (a1 – )n 与二次函数的联系 O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) 当d ≠ 0 时，Sn 可看成常数项为0的二次函数，其中， Sn为自变量的函数. 无 最大值 最小值 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知数列的前项和为， （1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； （2）求的最小值，并求取最小值时的值. 典例剖析 知识点 2：等差数列的最值问题 分析：(1)回忆已知数列的前n项和求解通项公式的步骤，注意验证，再根据等差数列的定义进行判断. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知数列的前项和为， （1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； 典例剖析 解：(1)当时，有. 当时，有== . 又因为，所以时= 也成立， 因此数列的通项公式为= . 因为= ， 所以是等差数列. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知数列的前项和为， （2）求的最小值，并求取最小值时的值. 典例剖析 (2) (方法一)因为， 将其化为二次函数的顶点式可得 ， 又因为是正整数，所以当或8时，最小，最小值是 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知数列的前项和为， （2）求的最小值，并求取最小值时的值. 典例剖析 (方法二) 由= 可知数列是递增的等差数列， 各项依次为-28，-24，-20，-16，-12，-8，-4，0，4，…， 可以看出，所有负数或非正数的项相加时，最小，此时或8. （也可令，可得，解得，而且.） 由此可知，或8时，最小，最小值是 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 求等差数列的前n项和Sn最大(最小)值问题的常用方法： (1)二次函数法:由于Sn = n2 + (a1 – )n是关于的二次式,因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值,但要注意这里的. (2)通项法:由于=，因此 当,且时,数列递减，求使≥0的最大的的值,使Sn最大; 当,且时,数列递增，满足≤0的最大的的值,使 Sn最小. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 等差数列 30，26，24，… 的前多少项的和最大？为什么？ (方法一：二次函数法) 解：∵=30，，结合公式Sn = na1 + d， 易得， ∴当8时，最大，最大值是 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 等差数列 30，26，24，… 的前多少项的和最大？为什么？ (方法二：通项法) 解：∵=30＞0，＜0， 易得通项公式， 再令，即， 解得，是正整数， ∴当8时，最大，最大值是 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄” ，从8月1日开始，每个月的1日都存入1000元，共存入3年. 已知当年 “教育储蓄”的存款月利率为2.7‰，则3年后李先生一次可支取本息共多少元？（设每月存款的利息不计入下月本金.） 典例剖析 知识点 3：等差数列前项和公式的实际应用 解：每1000元“教育储蓄” 存一个月能得到的利息是 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 第1个1000元存36个月的利息 第2个1000元存35个月得利息 ……. 第36个1000元存1个月的利息 因此3年后李先生获得利