5.2.2 等差数列的前n项和 第1课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.2.2 等差数列的前项和 第 1 课时 新授课 1. 理解等差数列前项和公式的推导过程，并能自主推导出公式； 2. 熟练掌握等差数列的五个量的关系，能够快速且准确的找到合适的公式对等差数列相关问题进行求解. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：等差数列的前项和公式 你知道高斯是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首尾配对，共有50个101，总和是5050. 即：S=1+2+3+…+100， 倒加可得 S=100+99+98+…+1， ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(100+1)， 所以 S==5050. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，在不逐层相加的前提下，你能算出这堆钢管共有多少根吗？ 思考1：每层钢管数有什么规律？ 构成一个等差数列. 思考2：共有多少根钢管，实际上是求什么？ 等差数列的前8项和. 动手：借鉴高斯的算法试试吧！ 新课讲授 学习目标 课堂总结 这些钢管从上到下每一层的数量构成一个等差数列，首项为公差，而且该数列共有8项，第8项为 设想在图的钢管旁边再放同样多数量的钢管，但是倒过来放置，如图所示. 这时每一层的钢管数是相同的，都是4+11根，因此这些钢管的总数为 . =4 =11 思考：请类推出一般等差数列前项和公式 (4+11) 新课讲授 学习目标 课堂总结 设等差数列的前项和为，即 +…+， ① 显然倒加可得 +…+， ② 根据等差数列的性质有 =…， 所以把①②两边分别相加，可得=)，因此 =. （倒序相加法） (若s + t = p + q，则as + at= ap + aq. ) 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 等差数列的前 n 项和公式： 根据等差数列的通项公式 an = a1 + (n – 1)d 代入变形： Sn = （1） Sn = na1 + d （2） 已知a1，，选用公式（1）更简便； 已知a1， d，选用公式（2）更简便. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：等差数列的前 n 项和公式的简单应用 例 1：已知数列{an}是等差数列，结合前 n 项和公式完成下列问题： (1)若 a1 = 1，a50 = 49，求 S50； (2)若 a1 = 2，a2 = 4，求 S10； 解：(1)∵a1 = 1，a50 = 49，n=50， 结合公式 Sn = 可得： S50 = = 1250； (2)∵a1 = 2，a2 = 4，∴d = 2，n=10， 结合公式 Sn = na1 + d 可得： S10 = 10×2 + ×2 = 110. 分析：注意公式的选用，列出方程即可. 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 若 a1 = 1，d = 2，Sn = 25，求 n. 解： ∵ a1 = 1，d = 2，Sn = 25， 结合公式 Sn = na1 + d可得： 25 = n + n(n – 1)， 整理得 n2 = 25，解得 n = 5 或 – 5 (舍)， 所以 n = 5 . 思考：选用哪个公式更简单呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知等差数列的公差为2，且=29，求这个等差数列前20项的和. 典例剖析 解： ∵d = 2，a20 = 29， n = 20， ∴ 根据通项公式an = a1+(n－1) d 可得： a1 = -9， (公式一)：结合公式Sn=， 可得：S20==200； (公式二)：结合公式Sn=na1+d， 可得：S20=20×(9)+×2=200. 和d均知，两公式都可直接用于列方程求解. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 求等差数列 5，12，19，26，…，201，208 的各项之和. 分析：由数列易得 a1 = 5，an = 208，d=12-5=7， 再根据通项公式an = a1+(n－1) d 可得： n = 30. 你会用哪个公式求解呢？ 答案：S30=3195. 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 例 3：已知一个等差数列{an}前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220. 求这个等差数列的首项和公差. 解：∵S10 = 310，S20 = 1220， 结合公式 Sn = na1 + d 列出方程组，即可求首项和公差， ， 解得： . 所以等差数列{an}的首项为 4，公差为 6. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 等差数列的求解策略 等差数列的前项和公式Sn = Sn = na1 + d分别与