5.2.1 等差数列 第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.2.1 等差数列 第 2 课时 新授课 1. 理解等差中项的概念，能用公式求解； 2. 掌握判断等差数列的常用方法； 3. 掌握等差数列的性质，并能灵活运用等差数列的性质解决问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：等差中项的概念 问题 1：如果在与之间插入一个数，使得成等差数列，那么应该满足什么条件？ 由等差数列定义及成等差数列可得：， 整理可得 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 等差中项的概念 如果是等差数列，那么称为与的等差中项.（ ） 中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的等差中项. 例如：2与8的等差中项是 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：等差中项的表达式与平面直角坐标系上两点之间的中点坐标公式有什么联系？ 等差中项：已知成等差数列，则有， 中点坐标：已知坐标A(， P(， B(，其中点P为线段AB的中点，则有 O x y A B P 点P的横坐标是点A和点B横坐标，的等差中项 点P的纵坐标是点A和点B纵坐标，的等差中项 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：一个等差数列是2，4，6，8，10，12，14. 在这个数列中，4是2和6的等差中项，6是4和8的等差中项，那么8是谁的等差中项？12呢？ 解：根据等差中项的概念，易知8是6和10的等差中项，12是10和14的等差中项. 我还发现8还是4和12，2和14的等差中项？ 等差数列中连续（或对称）的三项的中间项为其余两项的等差中项 2，4，6，8，10，12，14 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 在和之间顺次插入三个数，，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：因为， a，b，c， 成等差数列， 所以b是和的等差中项，b， 又a是与b的等差中项， c是b与的等差中项， 则a ， c 所以该数列为，1，3，5，7. 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：判断等差数列的方法 例 2：已知数列{an}中， 在时恒成立，求证： {an}是等差数列. 典例剖析 解：因为 所以. 因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{an}是等差数列. ， 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 判断一个数列是不是等差数列的几种常用方法 (1)定义法：若(d为常数)，则数列为等差数列. (2)通项法：若(k，b为常数)，则数列为等差数列. (3)等差中项法：若()，则数列为等差数列. (4)性质法：若数列，为等差数列，k，c，m为常数，则，，，也是等差数列，且是等差数列. 注：(1)(2)(3)条前面已证，第(4)条可自行证明，求出各自的公差. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 3：等差数列的性质 问题 2：设数列{an}的通项公式为，求出，并比较它们的大小. 由易知，数列{an}是等差数列， 因为 =3×2－1+3×7－1=25， =3×3－1+3×6－1=25， 所以. 思考：那么呢？你能比较它们的大小并总结出一般结论吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 数列{an}的通项公式为 因为 =， =， 所以当= 时，. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 等差数列的性质 一般地，如果 {an} 是等差数列，而且正整数s， t，p，q满足 s + t = p + q，则 as + at= ap + aq. 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 2as = ap + aq，即 as 是 ap 与 aq 的等差中项. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 在等差数列{an}中，a3 + a5 = 10，则 a1 + a7 等于 （ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 C 分析：考查等差数列的性质，若s + t = p + q，则as + at= ap + aq. 2. 已知在等差数列{an}中，a4 + a8 = 20，a12= 28. 求 a9. 解：∵a4 + a8 = 2a6 = 20，即 a6 = 10， 又∵ 2a9 = a6 + a12 = 10+28=38， ∴a9 =19. 分析：考查等差数列的性质推广，若2s = p + q，则2as = ap + aq. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列{an} ，求其余3级的宽度. 典例剖析 35cm 43cm