第05讲复数的概念（2个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高一数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第二册）

第05讲复数的概念（2个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.数系的扩充和复数的概念 知识点2.复数的几何意义 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.数系的扩充和复数的概念 1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R) 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集． 2．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 3．复数的分类 z＝a＋bi(a，b∈R) 总结：1．a，b∈R，a＋bi＝0⇔a＝b＝0；a＋bi＞0⇔ 2．两个虚数不能比较大小． 3．z是复数，z2≥0不一定成立，如i2＝－1＜0. 4．复数问题实数化是解决复数问题的最基本、最重要的思想方法． 例一、单选题 1．（2022下·湖北武汉·高一校联考期末）已知，“”是“复数为虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023下·上海奉贤·高一校考期末）“”是“复数是纯虚数”的（    ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 例二、解答题 3．（2023下·陕西商洛·高一校考期中）已知是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； 4．（2023·全国·高一课堂例题）写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 知识点2.复数的几何意义 1．复平面 2．复数的几何意义 3．复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝. 4．共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. 共轭复数的模相等。 即|z|=|| 总结：1．从数与形两方面理解复数意义，掌握复数与点和向量的一一对应关系，即： 特别提醒：相等向量对应同一个复数． 2．|z|＝1表示复平面上的单位圆. 例一、单选题 1．（2023·四川南充·统考一模）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，复平面内点所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 例二、多选题 4．（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知复数， ()(为虚数单位)，为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第一象限 C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 例三、填空题 5．（2023上·上海虹口·高三校考期中）设复数（i为虚数单位）且，若，则 ． 【方法练】 一、单选题 1．（2021下·江苏·高二校联考阶段练习）已知复数（），则“”是“z为纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2021下·高一课时练习）表示复数z的虚部，所有满足的复数在复平面上对应的点所组成的集合为（    ） A．过点且平行于轴的一条直线 B．过点且平行于轴的一条直线 C．分别过点、，且平行于轴的两条直线 D．分别过点，，且平行于轴的两条直线 二、多选题 3．（2020下·山东菏泽·高一校联考期末）下列命题中，正确的是（    ） A．复数的模总是非负数 B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应 C．如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数 4．（2021下·高一课时练习）下列命题错误的是（    ） A．是纯虚数 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．（2022下·河北保定·高一校联考阶段练习）写出一个模小于8，且实部比虚部小的复数： . 6．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值= ． 四、解答题 7．（2021下·高一课时练习）已知复数在复平面内的对应点．当实数分别为何值时，点位于第四象限；轴的负半轴上？ 8．（2021上·江西上饶·高二统考期末）已知m为实数，i为虚数单位，设复数. （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数z对应的复点在直