2023-2024学年华东师大版数学九年级下册27.1.2圆的对称性

27.1 圆的认识 第1课时 圆的对称性（一） 【课时目标】 1.理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，能说出圆的对称轴和对称中心. 2.掌握圆心角、弧、弦三者之间的关系. 【知识点一】圆的对称性 【典例解析】 例1.如图1，已知AB是⊙O的直径，则下列说法正确的有（ ） ①⊙O是轴对称图形；图1 图2 ②线段AB是⊙O的对称轴； ③直线AB是⊙O的对称轴； ④⊙O绕圆心旋转90°之后能与自身重合. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式训练】 1.如图2是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则阴影部分的面积之和为 （结果保留） 【知识点二】圆心角、弧、弦之间的关系 【典例解析】 例2.如图3，AB是⊙O的直径，\s\do 4(BC) (︵ )＝\s\do 4(CD) (︵ )＝\s\do 4(DE) (︵ )，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ） A．52° B．57° C．66° D．78° 【分析】可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝38°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．图3 【变式训练】 2.如图4，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝　 　． 图4 图5 3.如图5，在⊙O中，弦AB=CD，求证：AC=BD. 4.如图6，AB，CD为⊙O的直径，\s\do 4(AC) (⁔ )=\s\do 4(CE) (⁔ )，求证：BD=CE 图6 5.如图7，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是\s\do 4( AB) ( ⁔)的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC． 图7 【典例解析】 例3.如图28，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD=DC. 2图8 【分析】连结OC，根据平行线的性质得到∠1＝∠B，∠2＝∠3，而∠B＝∠3，所以∠1＝∠2，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 　 变式练习 6.如图9，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G，交BA的延长线于E，求证：\s\do 4(EF) (⁔ )＝\s\do 4(FG) (⁔ )． 图9 【方法归纳】 圆心角、弧、弦之间的关系： （1） 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等. （2） 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. （3） 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 27.1 圆的认识 第2课时 圆的对称性（二） 【课时目标】 1.理解并记住垂径定理及其逆定理. 2.会应用垂径定理及其逆定理进行求值计算. 【知识点一】垂径定理及其推论 【典例解析】 例1.如图10，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ） A . 3 B. 2.5 C. 4 D. 3.5 图10 【分析】连接OA，根据垂径定理得到APAB，利用勾股定理得到答案． 【变式训练】 1.如图11，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（ ）图11 图12 图13 A．8 B．6 C．4 D．10 2.如图12，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（　 　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例2.如图图13，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝2，AB＝8，则⊙O的直径是（　 　） 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长． A. B． C．5 D．10 【变式训练】 3.如图14，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝10cm，CD＝8cm，则BE的长为（　　） 图14 图15 A.5cm B. 3cm C. 2cm D. 1.5cm 4.如图15，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是AB上一个动点，则OP的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例解析】 例3.如图16所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为 . 图17 图16 【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解． 【变式训练】 5.如图17，为弧的中点，于，于，cm，