（4）圆锥曲线（B卷）——2024年高二数学寒假轻松衔接（北师大版（2019））

（4）圆锥曲线（B卷）——2023-2024学年高二数学北师大版（2019）寒假轻松衔接 1.若,则“”是“方程表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知F为抛物线的焦点,过F作垂直x轴的直线交抛物线于M、N两点,以MN为直径的圆交y轴于C、D两点,且,则抛物线方程为( ) A. B. C. D. 3.已知,分别是椭圆的左､右两个焦点,若该椭圆上存在点P满足,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知O为坐标原点,双曲线的右焦点为F,以OF为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点A,B,若,则四边形OAFB的面积为( ) A.6 B. C. D.4 5.已知椭圆的左,右焦点分别为和,为C上一点,且的内心为,则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 6.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量,已知对于曲线（）上点处的曲率半径公式为,则下列说法正确的是( ) A.若曲线上某点处的曲率半径起大,则曲线在该点处的弯曲程度越小 B.若某焦点在x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c（半焦距）则该椭圆离心率为 C.椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为 D.若椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8,最小值为1,则椭圆方程为 7.（多选）已知抛物线的焦点为F,过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A,B两点,以下结论中正确的有( ) A.直线l的方程为 B.原点到直线l的距离为 C. D.以AB为直径的圆过原点 8.（多选）已知双曲线的左、右焦点分别是,过右焦点的直线AB交双曲线右支于A,B两点,的内切圆圆心为M,半径为,的内切圆圆心为N,半径为,则下列结论正确的是( ) A.直线MN垂直于x轴 B.周长为定值 C.与之和为定值 D.与之积为定值 9.如图,已知,为椭圆椭圆上点使为钝角,则椭圆离心率的取值范围是________. 10.已知双曲线的左、右焦点分别是,,点M为双曲线上一点,若M到原点的距离,则的面积是___________. 11.过抛物线的焦点F作直线PQ,MN分别与抛物线C交于P,Q和M,N,若直线PQ,MN的斜率分别为,,且满足,则的最小值为______. 12.已知椭圆的左、右焦点分别为,点A是椭圆上不同于左右顶点的一动点,点A关于x轴的对称点为点B.当直线AB过左焦点时,. （1）求椭圆C的方程; （2）若直线与椭圆交于另外一点P（点P和点A不重合）,证明直线AP过定点. 答案以及解析 1.答案：B 解析：若方程表示椭圆, 则解得或, 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 2.答案：B 解析：由题意可知通径,所以圆的半径是P, 在中,,,解得：, 所以抛物线方程：. 故选：B. 3.答案：A 解析：由,分别是椭圆的左、右两个焦点, 则,当点P位于短轴端点时,取最大值, 要使C上存在点P满足,则的最大值大于或等于, 即点P位于短轴端点时,大于或等于, 则,解得. 故选：A. 4.答案：B 解析：设AB与x轴交于点D,由双曲线的对称性可知轴,,, 又因为,所以,即, 所以,因为点A在以OF为直径的圆上,所以,OA所在的渐近线方程为, 点到渐近线距离为, 所以, 所以,,则, 所以, 故选：B. 5.答案：C 解析：由题知为C上一点, 所以,, 所以的周长为, 因为的内心为 所以,内切圆的半径为, 所以,由三角形内切圆的性质知,,即, 两边平方并整理得,即, 所以,离心率为 故选:C 6.答案：ABD 解析：对于A,曲线上某点处的曲率半径变大,则曲线在该点处的弯曲程度越小,故A正确; 对于B,因为,所以, 所以, 因为,所以,, 若某焦点在x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c, 可得,解得,故B正确; 对于C,由选项B可知,,所以, 所以椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为,故C错误; 对于D,若椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8,最小值为1, 由选项B可得,所以,解得, 则椭圆方程为,故D正确. 故选：ABD. 7.答案：ABC 解析：如图所示： 对选项A,抛物线的焦点为,所以直线l的方程为,故A正确; 对选项B,,故B正确. 对选项C,联立, 设,,则,, 所以,故C正确. 对选项D, ,故D错误. 故选：ABC. 8.答案：AD 解析：由题意,可得如下示意图,其中C,D,F,E,G为内切圆与各边切点, 由图知：, 由,, 则 令G横坐标为,则, 即G为双曲线右顶点, 同理,内切圆在x轴上的切点也为G,又MG,NG都垂直于x轴, 所以直线MN垂直于x轴,A对; 由周长为, 而的长不定,故周长不为定值,B错; 由,分别平分,且, 在中,又, 所