（2）直线与圆（B卷）——2024年高二数学寒假轻松衔接（北师大版（2019））

（2）直线与圆（B卷）——2023-2024学年高二数学北师大版（2019）寒假轻松衔接 1.斜拉桥是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥,它由梁,斜拉索和塔柱三部分组成.如图1,这是一座斜拉索大桥,共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列.如图2,已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m,拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚,满足,,以所在直线为x轴,所在直线为y轴,则最长拉索所在直线的斜率为( ) A. B. C. D. 2.已知直线与直线,若,则直线倾斜角为( ) A. B. C. D.或 3.已知点P在圆上运动,若对任意点P,在直线上均存在两点A,B,使得恒成立,则线段AB长度的最小值是( ) A. B. C. D. 4.已知点P在直线上运动,点E是圆上的动点,点F是圆上的动点,则的最大值是( ) A.13 B.16 C.17 D.18 5.已知直线,若直线l与连接,两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角范围为( ) A. B. C. D. 6.已知圆,MN为圆C的动弦,且满足,G为弦MN的中点,两动点P,Q在直线上,且,MN运动时,始终为锐角,则线段PQ中点的横坐标取值范围是( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列说法正确的是( ) A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B.直线关于x轴对称的直线方程为直线 C.过,两点的直线方程为 D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 8.（多选）已知圆,直线,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别切圆C于点A,B.则下列说法正确的是( ) A.四边形PACB的面积最小值为 B.M为圆C上一动点,则最小值为 C.最短时,弦AB直线方程为 D.最短时,弦AB长为 9.已知圆与圆内切,则__________. 10.已知点和点,P是直线上的一点,则的最小值是__________. 11.已知平面内两个定点A,B及动点P,若（且）,则点P的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知,,直线,直线,若P为,的交点,则的最小值为_____________. 12.已知圆O的圆心为坐标原点,斜率为1且过点的直线与圆O相切,圆. (1)若圆与圆相交于,两点,求线段的长度; (2)若直线与圆C交于P,Q两点,是否存在实数a,使得?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 答案以及解析 1.答案：B 解析：如图,以O为原点建系, 根据题意,最短拉索的锚,满足,, 且均为4m,拉索下端相邻两个锚的间距均为18m, 则,即点, 同理, 又,即点, 所以, 即最长拉索所在直线的斜率为. 故选:B. 2.答案：C 解析：直线与直线,, ,解得, 当时,,,符合题意, 当时,,,两直线重合,不符合题意, 故,,其斜率为, 设直线的倾斜角为,则,又,则. 故选：C. 3.答案：D 解析：圆的圆心为半径为, 因为在直线上均存在两点A,B,使得恒成立, 所以以线段AB为直径的圆包含圆O, 如图所示: 当两圆内切时,线段AB的长度最小, 设线段AB的中点为E,则, 所以, 故选:D 4.答案：B 解析：设直线：,圆,圆, 易知点关于直线l的对称点为,以为圆心, 以1为半径的圆即为圆A关于直线l的对称圆.设E点关于直线l的对称点为,则有, , 如图,连接, 在中,有,当且仅当P,,F三点共线时取得等号, 故求解的最大值问题转换为求最大值问题, 故当直线过圆心和圆心B且,F距离最远且点P恰好为直线与直线l的交点时可取得最大值. 由题意知点和B点坐标分别为：,,两圆半径分别为1和2, 故最大值为：. 故选：B. 5.答案：D 解析：直线,由,解得,即直线l过定点, 设直线的斜率为k,直线l的倾斜角为,则, 显然直线PA的斜率为,直线的斜率为, 由于直线l经过点,且与线段AB总有公共点,则,即, 又,于是,因此或, 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故选:D 6.答案：A 解析：由题意,圆,可得圆心坐标为,半径为, 因为,G为弦MN的中点,可得, 又由两动点P,Q在直线上,且, 设PQ的中点,当M,N在圆C上运动时,且恒为锐角, 可得以C为圆心,以为半径的圆与以E为圆心,以为半径的圆相外离, 则,即,解得或, 所以线段PQ中点横坐标取值范围是. 故选:A. 7.答案：AB 解析:对于A,令,则,令,则, 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是,故A正确; 对于B,直线的斜率为,则倾斜角为,与轴的交点坐标为, 故其关于x轴对称的直线的倾斜角为,斜率为,且过点, 所以所求直线方程为,即,故B正确; 对于C,当时,过,两点的直线的倾斜角为,斜率不存在, 则不能用两点式方程,故C错误; 对于D,当直线过原点时,直线在x轴和y轴上截距都为0, 此时直线方程为, 当直线