黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

哈师大附中 2023—2024 学年度高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．从1,2,3,4,5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 2．各项均为正数的等比数列前项和为，且成等差数列，若，则（    ） A．15 B． C．或15 D．或 3．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下: 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169  334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 4．一组数据的均值为，第25百分位数为，方差为，则（    ） A． B． C．数据的均值为 D．数据的方差为 5．双曲线：的渐近线与圆相切，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 6．已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知点是抛物线上的一点，若以抛物线的焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于两点，，当的面积为时，的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9．已知双曲线：的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 B．已知点，，直线过且与线段相交，则其倾斜角的范围是 C．圆：与：恰有四条公切线，则 D．圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于 11．记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ,则（    ） A． B． C． D．数列是等差数列 12．双曲线的左、右焦点分别为，与有公共焦点的椭圆在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，的面积分别是,过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．I到y轴的距离为a B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．某高中学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用按比例分配的分层抽样方法从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一与高二参加活动的总人数为 . 14．已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 . 15．已知抛物线的焦点为，第一象限的两点在抛物线上，且满足，．若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 16．已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则实数k的取值范围是 . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 18．（本小题满分12分）过点作直线与抛物线相交于两点. (1)若直线的斜率是1，求弦的长度； (2)若，求直线的方程． 19．（本小题满分12分）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 20．（本小题满分12分）某学校后勤服务中心为监控学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]． (1)求频率分布