专题1.6 含30度角的直角三角形五大题型-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.6 含30度角的直角三角形五大题型 【北师大版】 考卷信息： 本套训练卷题量适中，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对含30度角的直角三角形的五大题型的理解！ 【题型1 求长度】 1．（2023春·福建宁德·九年级校考期中）如图，已知中，，．    (1)在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长度． 2．（2023春·安徽亳州·九年级校考期中）如图是某儿童娱乐休闲广场上的一个滑梯的平面示意图，若将滑梯的滑道水平放置，则刚好与的长度相同．已知滑梯的高度为4米，的长为1米．其中，，三点在同一直线上，，．    (1)求滑梯的滑道的长； (2)若把滑梯的滑道改成，使，求的长．（精确到0.1米，参考数据：） 3．（2023春·广东佛山·九年级统考期末）如图，是等边三角形，，点F是的平分线上一动点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到，连接、．    (1)尺规作图：在的上方找点D，使得且； (2)在（1）的条件下，连接． ①求证：； ②求证：是等边三角形； ③当是等腰三角形时，求的长度？ 4．（2023春·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，是等边三角形，点F是边的中点，点D在直线上运动，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，直线与直线交于点M．试探究线段与的数量关系及的大小． (1)初步探究： 如图1，当点D在线段上时，请直接写出： ①与的数量关系 ； ② ° (2)深入探究： 如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，当点D在线段的延长线上时，若，，求出的长度． 5．（2023秋·福建福州·九年级统考期末）在等边三角形中，点D、E分别在边、上，且，连接、交于点F． (1)如图1，求证：； (2)过点E作于点G． ①如图2，若，，求的长度； ②如图3，连接、，若，求证：． 6．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）将一副三角板和如图（1）放置，其中，，，与共线，将沿方向平移，当经过的中点时，直线交于点[如图（2）]，若，则此时线段的长度为 ．    【题型2 求最值】 1．（2023秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）如图，在中，，，将绕顶点C顺时针旋转，旋转角为，得到，P，Q分别是、的中点，，连接，则旋转时长度的最大值是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023春·江苏常州·九年级校考期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同． 应用：如图，点O是长方形的对角线AC的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（        ）    A．1 B． C．2 D． 3．（2023春·陕西安康·九年级校考期中）如图，在中，点分别在边上，折叠使得点落在上，若，，，则长度的最大值为 ．    4．（2023秋·天津和平·九年级校考期中）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点． （1）如图，线段 ； （2）则线段的最大值为 ，最小值为 ． 5．（2023春·江苏·九年级统考期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点，将绕点按逆时针方向旋转一周得到，点是边的中点，则在旋转过程中长度的最大值为 ． 6．（2023春·陕西西安·九年级校考期中）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，满足，连接、，求的最小值 .    【题型3 求面积】 1．（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、…在轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则可表示为 ．    2．（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在中，，则面积是 ;若以为边向外作等边，连，则长为 ．    3．（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期末）如图，中，，，，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，则图中阴影部分的面积是 ．    4．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）【问题背景】 如图1，在等腰直角中，，则边与边的数量关系为． （1）如图2，在等腰中，，作于点D，则得到边与边的数量关系为 ； 【迁移应用】 （2）如图3，和都是等腰三角形，，D、E、C三点共线，连接，