专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示【七大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 用基底表示向量】 1 【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 2 【题型3 平面向量基本定理的应用】 3 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 6 【题型5 平面向量数量积的坐标表示】 6 【题型6 向量共线、垂直的坐标表示】 7 【题型7 向量坐标运算的几何应用】 8 【知识点1 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【题型1 用基底表示向量】 【例1】（2023·全国·模拟预测）在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023上·河北保定·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（2023下·广东佛山·高一校考期中）如图，在中，，点是的中点．设，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（2023下·陕西·高一校联考期中）如图，在中，设，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 【例2】（2023下·广东广州·高一校考阶段练习）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（2023上·山东·高三校联考开学考试）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式2-2】（2023上·四川乐山·高二校考开学考试）如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【题型3 平面向量基本定理的应用】 【例3】（2023上·宁夏银川·高三校考期中）在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023上·广西玉林·高一校考开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 【变式3-2】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-3】（2023下·江苏苏州·高一统考期中）点是所在平面内一点且满足，则下列说法正确的个数有（    ） ①若，则点是边的中点；②若点是边上靠近点的三等分点，则；③若点在边的中线上且，则点是的重心；④若，则与的面积相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【知识点2 平面向量的坐标表示】 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的