专题6.3 向量的数量积【六大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 向量的数量积【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求投影向量】 3 【题型2 向量数量积的计算】 3 【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】 4 【题型4 已知向量的夹角求参数】 4 【题型5 求向量的模】 5 【题型6 已知模求参数】 5 【知识点1 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【题型1 求投影向量】 【例1】（2023上·陕西西安·高二校考阶段练习）已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知，为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023上·浙江·高二校联考期中）已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型2 向量数量积的计算】 【例2】（2023上·四川南充·高三校考阶段练习）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 【变式2-1】（2023·安徽·校联考一模）在三角形中，，，，则（    ） A．10 B．12 C． D． 【变式2-2】（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足，则（    ） A．36 B．－36 C．－8 D．8 【变式2-3】（2023上·天津东丽·高三校考阶段练习）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D．10 【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】 【例3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知非零向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知向量，且与的夹角为，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 已知向量的夹角求参数】 【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知向量满足，，若与的夹角为，则m的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范