专题1.3 解题技巧专题：二次根式中有关运算易错问题之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（浙教版）

专题1.3 解题技巧专题：二次根式中有关运算易错问题之六大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 化简含字母的二次根式】 1 【考点二 利用二次根式的非负性求值】 4 【考点三 新定义型二次根式的运算】 7 【考点四 二次根式的分母有理化】 10 【考点五 复合二次根式的化简】 17 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 20 【典型例题】 【考点一 化简含字母的二次根式】 例题：（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）若，则代数式可化简为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·上海杨浦·八年级校考期中）化简：= 4．（2023下·福建莆田·八年级统考期末）已知，化简：= 5．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）当时，化简： ． 6．（2021下·山东德州·八年级校考期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简∶ 解∶隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．    (3)已知a，b，c为的三边长．化简： 【考点二 利用二次根式的非负性求值】 例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如果，那么 ． 【变式训练】 1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）若实数满足，则的值为 ． 2．（2023上·四川巴中·八年级校考期中）若x、y都是实数，且，求 ． 3．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）已知，则 ． 4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知为实数，且，则 ． 5．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知的三条边长，，满足，则的面积为 ． 【考点三 新定义型二次根式的运算】 例题：对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______． 【变式训练】 1．对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__． 2．已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：． (1)求的值； (2)若，，求的值． 3．用定义一种新运算：对于任意实数和，规定． (1)求的值． (2)_____________． 4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下： ，如． (1)填空：___________． (2)若，求x的值． 【考点四 二次根式的分母有理化】 例题：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)计算：①______，②______； (2)计算：； (3)已知有理数、满足，则______，______． 【变式训练】 1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1： ， 例2： ，， 利用以上结论解答以下问题：（不必证明） (1) ； ； (2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程） 2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，其中与与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下列问题： (1)计算： ， ； (2)已知有理数a、b满足，则 ， ； (3)计算． 3．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题． 在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：①；②；③． 以上这种化简的方法叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ④ (1)请用不同的方法化简． (2)化简：． 【考点五 复合二次根式的化简】 例题：先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号． 例如： ． 解决问题：化简下列各式 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（1）填空：______；______； （2）例题：化简 解：因为 所以 仿照上例的方法，化简下列各式： ①             ② 2．我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如