寒假作业12 三角形中的倒角模型（16道经典题型+4道中考真题）-【寒假分层作业】2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业12 三角形中的倒角模型 近年来各地中考和模拟考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）.本节就三角形中的倒角模型（“8”字模型、“A”字模型、燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型、高分线模型、双垂直模型、双角平分线等）进行专项训练，方便同学们熟练掌握. 1．如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，将沿着DE翻折，使B点与B'点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分，若，，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 6．如图，∠ABD的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∠A=80°，则∠E的度数是_____. 7．如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ． 8．如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点． ①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 9．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果． 几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C. 应用上面模型解决问题： (1)如图（2），“五角星”形，求的度数. 分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ___. (2)如图（3），“七角星”形，求的度数. (3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ______. 10．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 11．如图，在中，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，且，请直接写出与，的关系． 12．已知，如图，在中，，，分别在边，上，，相交于点． (1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：______，结论：______．（填序号） 证明： (2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示） 13.在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 14．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，如图 1，且∠ADB=∠A＋∠B＋∠C. 理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是___________； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 15．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】 如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数； （3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数