直线与圆锥曲线的位置关系 专题讲义-2024届新高考高三数学解析几何专题2

专题二 直线与圆锥曲线的位置关系 核心知识必刷 1、核心知识点串讲 (1)直线与圆锥曲线位置关系的判定 判定直线l 与圆锥曲线C的位置关系时,一般是把直线l 的方程代入圆锥曲线C的方程中,消去y(也可以消去x),得到一个关于x的方程 ①当a≠0时,是一个一元二次方程, 若,则直线l 与圆锥曲线C有两个不同的交点,即相交; 若 则直线l 与圆锥曲线C有两个相同的交点,即相切; 若,则直线l 与圆锥曲线C无交点,即相离. ②当a=0时,退化为了一个一元一次方程,则直线l 与圆锥曲线C只有一个交点,此时只可能是如下两种情况:①当C是双曲线时,说明直线l 与双曲线渐近线平行; ②当C是抛物线时,说明直线l 与抛物线的对称轴平行. 因此当直线l 与双曲线或抛物线只有一个公共点时,应特别注意区分是相交(只有一个交点)还是相切(两个相同的交点)。 (2)弦长和弦中点 当直线l :y=kx+b与圆锥曲线C 相交时,设两个交点 A,B的坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂),则 弦长 .。 其中x₁,x₂正好是直线方程代入曲线方程,消去后所得一元二次方程 的两个根, 由根与系数的关系有 因此,要求弦长,一般并不需要具体求出交点A,B的坐标,这就是我们通常所说的“设而不求”,这是一种非常重要的方法.同学们应注意掌握. 关于弦中点,若设弦 AB 的中点坐标为(x₀,y₀),则 2、 命题特点分析 直线和圆锥曲线有相交、相切和相离三种位置关系. 把直线和圆锥曲线结合到一起,形成某种位置关系是高考命题中解析几何解答题的基本框架,特别是当直线被圆锥曲线所截时,有关弦长、弦中点以及与之相关的面积问题更是高考命题的热点问题。 第一部分 基础训练 *1.若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( ) A. B.5 C. D.2 *2.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 *3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为 ( ) A.x y=0 B.x y=0 C.x 2y=0 D.2x y=0 **4.(2018 全国卷 )已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若 OMN为直角三角形,则|MN|=( ) A. B.3 C.2 D.4 **5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线3x+y+3=0垂直,以C的右焦点F为圆心的圆(x-c)2+y2=2与它的渐近线相切,则双曲线的焦距为( ) A.1 B.2 C. D.2 **6.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1| |PF2|=ab,则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.3 *7.已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=_. *8.与椭圆+=1共焦点,离心率之和为的双曲线标准方程为_. **9.在平面直角坐标系xOy中,过双曲线C:x2-=1的右焦点F作x轴的垂线l,则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是_. *10.已知等轴双曲线的焦点在x轴上,且焦点到渐近线的距离是,则此双曲线的方程为_. 第二部分 真题再现 【例1】(2023年北京卷)已知椭圆离心率为,A、C分别是E的上、下顶点,B,D分别是的左、右顶点,. *(1)求的方程; ***(2)设为第一象限内E上的动点,直线与直线交于点,直线与直线交于点.求证:. 【跟踪练习】(2018年高考数学江苏卷)如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为. *(1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. **①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; **②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程. 【例2】(2022新高考全国I卷)已知点在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线的斜率之和为0. *(1)求l斜率; ***(2)若,求的面积. 【跟踪练习】(2014高考数学辽宁理科) 圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为. **(1)求的方程; ***(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程. 【例3】(2019年高考全国 卷理数)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交