3.1.3直线与椭圆的位置关系 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课 题： 3.1.3直线与椭圆的位置关系（1） 课型： 新授课 课程标准：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 学科素养： 数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模 重 点： 会判断直线与椭圆的位置关系；直线与椭圆相交时求弦长 难 点： 椭圆中的弦长公式 教学过程： 一、问题引入： 直线与圆有几种位置关系？如何判定的？能否利用直线与圆的位置关系的判断方法(思想)，判断直线与椭圆的位置关系？ 2、 知识讲解： （1）点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. （2）直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：（代数法） 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 例7（课本114）已知直线，椭圆C：，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 练：[例1]（学导78）　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ （学导78左下2）若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数的取值范围为__________ （3）椭圆的弦长问题 （课本114练习2）经过椭圆的左焦点做倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求线段的长. 知识小结：求直线与椭圆相交时的弦长 定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 求弦长的方法 1、交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求； 2、根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝·＝ ·. 练习：1、（配检157页4） 2、椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程． （学导79左对点练清）已知椭圆有两个顶点,过其焦点的直线与椭圆交于两点，若,求直线的方程. 三、课堂小结： 1.如何判断直线与椭圆的位置关系 2.直线与椭圆相交时弦长公式 四、课后作业： 学导P77-P78题型二结束 五、课后反思： 课 题： 3.1.3直线与椭圆的位置关系（2） 课型： 新授课 课程标准：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 学科素养： 数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模 重 点： 会判断直线与椭圆的位置关系；直线与椭圆相交时求弦长 难 点： 椭圆中的弦长公式 教学过程： 课前练习： 已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，则弦的长. 一、椭圆的中点弦问题： （学导79页）典例3 已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程. 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　　　 练：（学导79右下）已知点是直线被焦点在轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为__________ （课本116页14） 二、椭圆上的点到直线的最值问题： （课本116页13）已知椭圆，直线。椭圆上是否存在一点，使得： （1） 它到直线的距离最小？最小距离是多少？ （2） 它到直线的距离最大？最大距离是多少？ 练习：已知椭圆的焦距为，且过点.(1)求椭圆的方程；（2）在椭圆上找一点，使它到直线的距离最短，并求出最短距离. 三、课堂小结： 1.解决椭圆中点弦问题的两种方法 2.如何求椭圆上的点到直线的最值 四、课后作业： 配套检测卷（二十三） 五、课后反思：