9.1.1 正弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 新授课 1. 通过探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理； 2. 能用正弦定理解三角形. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：正弦定理 问题 1：如图所示，已知△ABC中，a = 5，b = 3，C = ，如何求出这个三角形的面积？ 如图，在 △ABC 中，过点A作 BC 边上的高 AD， 在 Rt△ADC 中，由正弦的定义可知 AD = bsin C， 因此所求三角形的面积为： S = BC·AD = absin C = ×5×3×sin = . 思考：若当上述 C 为钝角时，该如何求 △ABC 的面积吗？ D A B C b a 新课讲授 学习目标 课堂总结 当 C 为钝角时： 如图，在 △ABC 中，BC 边上的高为 AD， 则 AD = bsin∠ACD = bsin(π – C) = bsin C， 因此仍有 S = absin C； D A B C b a 当 C 为直角时：由 sin 90°= 1 可知上述面积公式仍成立； 新课讲授 学习目标 课堂总结 正弦定理 一般地，若记 △ABC 的面积为 S，则 归纳总结 由此可知 = = = ，又因为sin A > 0，sin B > 0，sin C > 0，由此可得 S = absin C = acsin B = bcsin A. 即：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：观察 的形式，说说那么这个比值有什么特殊含义？ 其中 c 是 △ABC´ 与 Rt△ABC 的外接圆的直径. c O A B C a b B' (R为△ABC外接圆的半径). 所以对任意△ABC，均有 无论怎么移动 B'，都有 所以在△ABC'中 作出如图所示图像，由图可知： 新课讲授 学习目标 课堂总结 正弦定理的变形 归纳总结 （1）a = 2Rsin A，b = 2Rsin B，c = 2Rsin C； （2），， ； （3）a : b = sin A : sin B，a : c = sin A : sin C，b : c = sin B : sin C. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：解三角形 三角形的 3 个角与 3 条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形？ （1）已知两角一边； （2）已知两边与其中一边的对角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：已知 △ABC 中，B = 75°，C = 60°，a = 10，求 c. 典例剖析 解：由已知可得 A = 180°– B – C = 180°– 75°– 60°= 45°. 由正弦定理可知 ，所以 c = = = 5. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ：已知△ABC中，a = 2，b = 2，A = 30°，求解这个三角形. 解：因为 ，所以 sin B = = = ； 由于 0°< B < 180°，所以 B = 30°或 B = 120°； 当 B = 60°时，有 C = 180°– A – B = 180°– 30°– 60°= 90°， 即△ABC是直角三角形，且c为斜边，则c = = = 4； 当 B = 120°时，有 C = 180°– A – B = 180°– 30°– 120°= 30°， 即△ABC是等腰三角形，从而由等角对等边可知 c = a = 2. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3 ：已知△ABC中，b = 3，c = 6，B = 120°，求 A，C 及三角形的面积. 解：由 得：sin C = = = ； 由于 0°< C < 180°，所以 C = 45°或 B = 135°； 当 C = 45°时，A = 180°– B – C = 180°– 120°– 45°= 15°， 而 sin 15°= sin (60°– 45°) = ， 所以三角形的面积为 S = bcsin A = . 当 C = 135°时，A = 180°– B – C = – 75°，不合题意，应舍去. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4：判断满足条件 A = 30°，a = 1，c = 4 的 △ABC 是否存在，并说明理由. 解：假设满足条件的三角形存在，则由 可知 sin C = = = 2. 又因为 sin C ≤ 1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形. 新课讲授 学习