2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题练习：二次函数中的特殊三角形问题

2023- 2024学年人教版九年级上册数学期末专题练习：二次函数中的特殊三角形问题 1．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线． (1)求该抛物线的表达式． (2)在对称轴l上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过、两点． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线M的表达式为y＝﹣x2+2x，与x轴交于O、A两点，顶点为点B． (1)求证：△OAB为等腰直角三角形： (2)已知点P在y轴上，且OP＝1，点C在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，将抛物线M进行平移，使其对称轴经过点C，请问平移后的抛物线能否经过点P？如果能，求出平移方式；如果不能，说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，连接AF交y轴于点E，OC＝5OA． (1)求抛物线的表达式； (2)求△CEF的面积； (3)在直线AF上是否存在点P，使△CFP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说理理由． 7．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 8．如图，已知二次函数的图象交x轴分别于A，D两点，交y轴于B点，顶点为C． (1)求抛物线的对称轴； (2)求； (3)在y轴上是否存在一点P，使得以P，B，D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上； (3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0，a，b为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线与x轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是抛物线上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF∥x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且，． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D． ①求线段PD的最大值； ②若时，请求出此时点P的坐标． 12．综合与实践 如图，已知抛物线与轴交于A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，直线经过B，C两点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及抛物线的对称轴； (3)判断BCD的形状，并说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点点P在此抛物线上，其横坐标为m．    (1)求此抛物线的解析式． (2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围． (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为． ①求m的值． ②以为边作等腰直角三角形，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，菱形的顶点，在轴的负半轴，抛物线过点． (1)求的值； (2)若把抛物线沿轴