1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 新授课 1.掌握空间向量正交分解的概念及坐标表示. 2.能正确地运用空间向量的坐标，进行向量的线性运算与数量积运算. 3.掌握空间向量平行、垂直的坐标表示. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点一：单位正交分解及空间中向量的坐标 回顾：如图，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为 基底，若 ，则向量 的坐标如何表示？空间向量是否可以 引进类似的坐标？ O A i j x y 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1：如图所示，已知=e1，=e2，=e3，且OADB-CEGF是棱长为1的正方体，OF1E1A-A1D1C1B1是一个长方体，A1为OC的中点，F1O=2. (1)设=a，=b，将向量a与b都用e1，e2，e3表示； (2)如果p是空间中任意一个向量，怎样才能写出p在基底{e1，e2，e3}下的分解式？ (1)a=e1+e2+e3，b=e1-2e2+e3 (2)将向量p的始点平移到点O，然后过它的终点分别作与e1，e2，e3所在直线垂直的平面，即可写出它在基底{e1，e2，e3}下的分解式. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3)中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底； 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作 其中x，y，z都称为p的坐标分量. p(x，y，z) e1 e2 e3 p=(x，y，z) 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考2：a=xe1+ye2+ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ 不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)p = 2e1+3e2+e3; (2)q = -e1+e2-2e3; (3)r = -2e2-e3; (4)0. 解：(1)p=(2，3，1) (2)q=(-1，1，-2) (3)r=(0，-2，-1) (4)因为0=0e1+0e2+0e3，所以0=(0，0，0). 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是(　　) A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3) B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2) C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1) D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3) 练一练 C 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点二：空间向量的运算与坐标的关系 思考3：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设 设 ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2) a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2) λa=(λx1，λy1，λz1) ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2). a·b=(x1x2+y1y2+z1z2) a=(x1，y1)，b=(x2，y2) 新课讲授 学习目标 课堂总结 假设空间中两个向量a，b满足a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)， 即： a=x1e1+y1e2+z1e3，b=x2e1+y2e2+z2e3， 则当a=b时， 有 x1e1+y1e2+z1e3=x2e1+y2e2+z2e3， 由{e1，e2，e3}是单位正交基底和空间向量基本定理可知 x1=x2，y1=y2，z1=z2 反之结论也成立. 即：空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等. 新课讲授 学习目标 课堂总结 证明：a+b=x1e1+y1e2+z1e3+x2e1+y2e2+z2e3 =(x1+x2)e1+(y1+y2)e2+(z1+z2)e3 求证：a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) 所以 a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2). ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2).