2024年中考数学专项复习题——二次函数中的相似三角形问题

2024年中考数学专项复习题—— 二次函数中的相似三角形问题 1．如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线图像过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B， （1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标； （2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标． 3．在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方． （1）求上述抛物线的表达式； （2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值； （3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标． 4．边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A,C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ.连接QP,QP与BC交于点E,QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F. (1)连接CQ,证明:CQ=AP. (2)设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数表达式,并求出当x为何值时,CE=BC; (3)猜想PF与EQ的数量关系.(不用说明理由) 5．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D点坐标为（1,0）． （1）求二次函数的解析式； （2）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由； （3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求h、k的值； （2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图,二次函数y=x2+2x+6的图像与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为点D,该二次函数图像的对称轴与直线BC相交于点E,与x轴交于点F; (1)求直线BC的解析式; (2)试判断△BFE与△DCE是否相似?并说明理由. (3)在坐标轴上是否存在这样的点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由． 9．如图所示，抛物线y=x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C， （1）求cos∠CAO的值； （2）求直线AC的函数关系式； （3）如果有动点P是y轴上，且△OPA与△OAC相似，求P点坐标． 10．如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交轴于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G． （1）求OC和OB的长； （2）抛物线的对称轴在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE＝m，PM＝h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值； （3）在（2）的情况下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△BEM相似？若存在，直接写出此时m的值，并直接判断此时△PCM的形状；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线（）与x轴相交于两点E、B（E在B的左侧），与y轴相交于点C（0，2），点D的坐标为（-4，0），且AB=AE=2，． （1）求点A、B、E的坐标；