2.2.2 圆周角 课件　2023——2024学年湘教版数学九年级下册

第二章 圆 2.2.2 圆周角2 复习导入 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 探究新知 AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别是多少呢？ 因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数. 探究点一 直径所对的圆周角的性质． 探究新知 AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别是多少呢？ 因为A，O，B 在一条直线上， 所以圆心角∠AOB 是一个平角， 即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3 ＝ × 180°= 90°. 如图，A，B，C为圆周上三点，若已知∠C=90°，它所对的弦AB是不是直径？ 探究新知 因为圆周角∠ACB所对弧上的圆心角是∠AOB， ∠ACB =90º，利用圆周角定理，求可以求出∠AOB =180º ．所以弦AB经过圆心O ． 知识要点 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 一般地，若题目中的已知条件有直径，那么往往作出直径所对的圆周角；如果需要直角或证明垂直，那么往往作出直径即可解决问题. 典例精析 例1 如图，BC 是⊙O 的直径，∠ABC = 60°，点 D 在⊙O 上，求∠ADB 的度数. 解 ∵ BC为直径， ∴ ∠BAC = 90°. 又∠ABC = 60°， ∴ ∠C = 30°. ∴ ∠ADB =∠C = 30°. 又∵ ∠ADB与∠C都是AB所对的圆周角， 当堂练习 1.如图，⊙O的直径AB=10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙0于D,求BC,AD,BD的长 解 ∵ AB为直径， ∴ ∠ACB =∠ADB=90°. 又CD平分∠ACB ∴ ∠ACD =∠BCD ∴ AD =BD = cm. ∴ AD =BD ∴ BC = =8cm 探究新知 如图，A，B，C，D是⊙O 上的四点，顺次连接 A，B，C，D 四点， 得到四边形 ABCD，我们把四边形ABCD 称为圆内接四边形. 这个圆叫作这个四边形的外接圆. 探究新知 在四边形 ABCD 中，两组对角∠A 与∠C，∠B 与∠D 有什么关系？ 连接 OB，OD， ∴ ∠A + ∠C = × 360°= 180° ∵ ∠A 所对的弧为BCD ， ∠C 所对的弧为BAD， 又 BCD与BAD所对的圆心角之和是周角， 知识要点 由此可得到以下结论： 圆内接四边形的对角互补． 几何语言： ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+ ∠ C=180°，∠B+ ∠ D=180°． 如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE会有怎样的关系呢？ 证明猜想： ∵∠DCE+∠BDC=180°， 又∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE． 我们把∠A叫做∠DCE的内对角．因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角． 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 探究新知 圆内接四边形定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． 几何语言： ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADC=180°， ∴∠B=∠CDE． 知识要点 典例精析 例2 如图，四边形ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，已知∠BOD 为 100°，求∠BAD 及∠BCD 的度数. 解 ∵ 圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为BD， ∠BOD = 100°, ∴ ∠BAD = ∠BOD =×100°= 50°. ∵ ∠BCD +∠BAD = 180°， ∴ ∠BCD = 180°-∠BAD = 180°- 50°＝ 130°. 14 当堂练习 2. 如图, AB 是☉O 的直径 , C , D 是☉O 上位于 AB 异侧的两点．下列四个角中, 一定与∠ACD 互余的是（ ） A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD D 3. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O, AB 经过圆心,∠B＝ 3∠BAC , 则∠ADC 等于（ ） A. 100° B. 112.5° C. 120° D. 135° B 当堂练习 ∴ ∠A+∠D = 180°， ∠A+∠B = 180° ∴∠B = ∠D 解 ∵ AB∥DC,AD∥BC ∴∠B+∠D = 180° ∴∠B = ∠D=