28.1锐角三角函数 教案 2023—2024学年人教版数学九年级下册

分课时教学设计 《28.1锐角三角函数(1) 》教学设计 教学内容分析 通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的演绎推理能力.在探索正弦函数概念的过程中，可进一步培养学生的创新意识，发展学生的形象思维，增强由特殊到一般逻辑推理能力． 学习者分析 理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个定值的事实；掌握正弦函数意义，能依据正弦函数定义进行有关计算. 教学目标 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣． 教学重点 锐角三角函数的概念． 教学难点 锐角三角函数概念的理解． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：情境引入 教师活动1： 1、 新知引入 问题：操场上有一个旗杆，老师让小美去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了． 通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数． 学生活动1： 通过探究活动理解． 从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 学生思考、交流，将实际问题转化成三角形中的问题. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．体会数学在解决实际问题中的应用． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展. 环节二：新课讲解 教师活动2： 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？ 分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ＝＝， 可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管． 思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 学生按与上面相似的过程，自主解决． ●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于. 思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？ 分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2， AB＝BC， ＝＝＝. ●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于. 从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ 分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则 ＝. ●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值． ●正弦的概念： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sinA＝＝. 例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝. 当∠A＝60°时，sinA＝sin60°＝ ※注意： 1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体． 2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF. 3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位． 提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？