5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2 三角函数的概念 5.2.2 同角三角函数的基本关系 1. 理解同角三角函数的基本关系式； 2. 会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值，化简和证明. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点1：同角三角函数的基本关系式 思考：公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ O x y B 回顾：公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等； sin (α+k・2π) = sin α，cos (α+k・2π) = cos α，tan (α+k・2π) = tan α，( k∈Z )； 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：如图，设点P(x，y)是角 α 的终边与单位圆的交点. 过 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于M，则 △OMP 是直角三角形，而且 OP = 1. 则角 α 的三个三角函数值之间有什么关系？ 已知：sin α = ，cos α = ，△OMP 是直角三角形； 根据勾股定理：OM2 + MP2 = 1，即 x12 + y12 = 1； ∴ sin2α + cos2α = 1； 又 tan α = ，∴ tan α = ； x y O A(1，0) α P 1 M 思考：当 OP 不等于 1 时，上述三个三角函数值之间的关系依然成立吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 同角三角函数的基本关系 平方关系: sin2α + cos2α = 1 （当 α 的终边与坐标轴重合时，同样成立） 商数关系: tan α = （根据定义，当 ≠ kπ + ( k∈Z ) 才成立） 总结：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：∵ cos (α+k・2π) = cos α， ∴ cos (-330°) = cos (-330°+ 360°) = cos 30°； ∴ sin230°+ cos2 (-330°) = sin230°+ cos2 30°= 1； 例 2 ：求 sin230°+ cos2 (-330°) 的值. 注意： （1）“同角”广义上的，不仅表示同一个角，终边相同的角也叫“同角”； 如： 30°和 30°是同角，30°和 -330°也是同角； （2） sin2α 是 (sin α)2 的缩写，读作“ sin α 的平方”，不能写成 sinα2 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：∵ > 0 且 sin α ≠ 1，∴ α 第一或第二象限角； 由 sin2α + cos2α = 1 得， cos2α = 1 – sin2α = ； 若 α 为第一象限角，则 cos α > 0， ∴ cos α = ，则 tan α = ； 若 α 为第二象限角，则 cos α < 0， ∴ cos α = – ，则 tan α = – . 例 3 ：已知 ，求 cos α 和 tan α 的值. 知识点2：同角三角函数的基本关系式应用 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.已知 cos α = – ，且 α 为第三象限角，求 sin α，tan α 的值. 解：∵ cos α = – ，由 sin2α + cos2α = 1 得：sin2α = 1 – cos2α = ； ∵ α 为第三象限角，则 sin α < 0，tan α > 0， ∴ sin α = – ，则 tan α = ； 思考：上述同角三角函数的基本关系还有其他变形吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 总结归纳 同角三角函数的基本关系的等价变形 “知一求二” （1）已知 sin α（或cos α）求其它： sin2α + cos2α = 1 sin2α = 1 - cos2α cos2α = 1 - sin2α sin α = ± cos α = ± （2）已知 tan α，求 sin α，cos α： tan α = sin α = cos α · tan α ， cos α = 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4：化简： . 解：原式 = = = = = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2. 化简：（1）cos θ·tan θ； （2）(1 + tan2α)·cos2α . 解：（1）cos θ·tan θ = cos θ · = sin θ； （2） (1 + tan2α)·cos2α = (1 + )·cos2α = ()·cos2α = 1.