5.2.1 三角函数的概念（第1课时 三角函数的定义）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1 三角函数的概念 第 1 课时 1. 借助单位圆，理解任意角三角函数的定义； 2. 能计算简单的三角函数的值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 知识点1：任意角三角函数的定义 思考：结合任意角的推广，想一想，任意角的三角函数应该如何计算？ sin α = ____________； cos α = ____________； tan α = ____________； A B C α a b c 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：如图，建立直角坐标系，做单位圆O. 点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y). 射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 当 α = 时，点P的坐标是什么？当 α = 或 时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 当 α = 时： x y O A(1，0) α P(x，y) x y O A(1，0) P1 利用勾股定理可以发现，当 α = 时，点 P1的坐标是（，）； 新课讲授 学习目标 课堂总结 当 α = 或 时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 当 α = 时： x y O A(1，0) P2 P2（0，1）； P3（，）； 当 α = 时： x y O A(1，0) P3 结论：任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标 x 还是纵坐标 y，都是唯一确定的； 即：点P的横坐标 x 和纵坐标 y 都是角α的函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)； （1）把点P的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作sinα，即 y=sinα； （2）把点P的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数，记作cosα，即 x =cosα； （3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切，记作tanα，即 = tanα (x≠0)； 当 α = + kπ（k∈Z）时，α 的终边始终在 y 轴上，这时 x = 0，tanα无意义； 此外，正切 tanα 与实数 α 是一一对应的，即 =tanα (x≠0) 为正切函数. 定义：正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 三角函数可以看成是以实数α (α为弧度) 为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. 注意： （1）在任意角的三角函数定义中，α 是一个使函数有意义的实数； （2） x 是自变量，离开自变量 x 的 sin、cos、tan 是没有意义的. 角 实数 (角的弧度) 三角 函数值 （1）正弦函数：y = sinx（x∈R） （2）余弦函数：y = cosx（x∈R） （3）正切函数：y = tanx，x≠ + kπ（k∈Z） 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：结合前面所学，求 300°的正弦、余弦和正切值. 知识点2：三角函数求值 思考：你能快速说出420°的正弦、余弦和正切值吗？ x y O 300° A B 则：∠AOB的终边与单位圆的交点 B 的坐标为（，）； 解：如图，在坐标系中作出∠AOB=300°，易知∠AOB的弧度为； ∴ sin 300°= sin = = ； cos 300°= = ； tan 300°= = ； 新课讲授 学习目标 课堂总结 8 练一练 α π sin α cos α tan α 1.运用上面所学，填写下列常见的三角函数值： 1 – 1 0 0 1 0 无 – 1 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ：已知角θ的终边过点P(-12，5)，求角θ的三角函数值. 解：如图，建立坐标系，标出点P位置，连接OP； 根据勾股定理可得：OP = = 13； x y O 4 2 P(-12，5) ∴ sin θ = ，cos θ = ，tan θ = ； ∴ sin θ = ，cos θ = ，tan θ = ； 思考：若角θ的终边过点Q (-6，2.5)，你能求出角θ的三角函数值吗？并说说你有什么发现？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 只要知道角 α 终边上任意一点 P 的坐标就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变. 总结归纳 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 B 2．已知角 α 终边过点 P (1，－1)，则 tan α 的值为（ ） 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： （1）三角函数的定义是什么? （2）在三角函数中，任意角