5.7 三角函数的应用课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.7 三角函数的应用 第1课时 1. 掌握简谐运动和交变电流模型应用的基本步骤； 2. 能从实际问题中抽象出三角函数模型，会用三角函数模型解决简单的实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1 ：三角函数的实际应用 例 1：某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中， 时间 t (单位：s)与位移 y (单位：mm) 之间的对应数据如下表所示. 请根据这些数据确定振子的位移关于时间的函数解析式. t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 解：根据已知数据， 描出散点图： 由数据表和散点图可知，振子位移与时间的解析式为： y = 20sin ( – )，t∈[0，+ ∞). 新课讲授 学习目标 课堂总结 现实生活中有大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等. 这些振动都是物体在某一中心位置附近循环往复运动，在物理学中，把这样的运动成为“简谐运动”. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数 y = Asin(ωx + φ) 表示. A 是这个简谐运动的振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是 T = ，表示物体往复运动一次需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式 f = = 得出，物体单位时间内往返运动的次数； ωx + φ 称为相位，x = 0 时的相位 φ 称为初相. 简谐运动的基本概念 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 B，C 两点间做简谐运动，B，C两点相距 20 cm，某时刻振子处在 B 点，经 0.5 s 振子首次到达 C 点；求振动的振幅、周期和频率. O B C 解：设振幅为 A，则 2A = 20 cm，即 A = 10 cm； 设周期为 T，频率为 f，则 = 0.5，即 T = 1.0 s； 所以 f = = 1 Hz； 综上，该振子振动的振幅为 10 cm，周期为1.0 s，频率为 1 Hz. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ：某次实验测得的交变电流 i (单位：A) 随时间 t (单位：s) 变化的图像放大之后如图，求电流 i 随时间 t 变化的函数关系式. 分析：由交流电的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用 i = Asin (ωt + φ) 来刻画，其中 表示频率，A 表示振幅，φ 表示初相. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，求交变电流 i 随时间 t 变化的函数关系式. 解：电流 i 随时间 t 变化规律为：i = Asin (ωt + φ) ， 由图可知：电流最大值为 5 A，因此 A = 5； 电流变化的周期为 0.02 s，频率为 f = = 50 Hz， 所以 f = = = 50，解得 ω = 100π； 再由初始状态(t = 0 s)的电流约为4.33 A，即 4.33 = 5sin φ， 解得 sin φ = 0.866，因此 φ 约为 ； 所以电流 i 随时间 t 变化的解析式为：i = 5sin (100πt + ) . 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 1. 频率指的是单位时间内完成周期性变化的次数，一般是指一秒内周期性变化的次数，频率 = ，单位是赫兹，简称“赫”，记为 Hz； 2. 利用图像确定函数 y = Asin (ωt + φ) 的解析式，就是确定其中的参数 A、ω、φ 的值，其中：① A 由最大 (小) 值决定；② ω 由最小正周期决定；③ φ 由图像上的关键点求得，确定 φ 时，要注意它的不唯一性，一般是求|φ| 最小时的 φ 值. 交变电流模型的辨析 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2. 已知某函数 y = Asin (ωt + φ) 的图像如图所示，求解析式？( 0 < φ < ) . 解：由图可知 A = 10，T = 2×( – ) = ， 所以 ω = = 100π； 当 t = 0 时，y = 5，即 5 = 10sin φ，sin φ = ， 又 0 < φ < ，故 φ = ； 所以函数解析式为： y = 10sin (100πt + ). 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： （1）请简述，简谐运动和交变电流的图象中 振幅、周期、频率、相位 分别是什么意思？ （