5.5.2 简单的三角恒等变换（第2课时 三角恒等变换的应用）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.2.2 三角恒等变换的应用 1. 能利用三角恒等变换对三角函数式进行简单的应用． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1 ：三角恒等变换的简单应用 回顾：说说三角函数式 y = Asin(ω𝑥 + φ) （A>0）的周期和最大最小值分别是多少？ 周期：T = ；最大值为A，最小值为 – A. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：求下列函数的周期，最大值和最小值： （1） ； （2）． 分析：利用和（差）角公式，可将 𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 转化为 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑) 的形式，进而就可以求得其周期和最值了； 思考：左侧函数为什么要进行变形 ① ？ 解：（1） y = = 2() ① = 2() = 2， 因此，所求周期为2，最大值为2，最小值为 – 2； 思考：上述式子除了变形成正弦的函数，还能变成其他三角函数吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）求函数 y = 3sinx + 4cosx 的周期，最大值和最小值. （2）设 y = 3sinx + 4cosx = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑)， 则3sinx + 4cosx = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥·cos𝜑 + 𝐴cos𝑥·sin𝜑，所以 𝐴cos𝜑 = 3，𝐴sin𝜑 = 4， 于是 𝐴2cos2𝜑 + 𝐴2sin2𝜑 = 25，即 𝐴2 = 25，取 A = 5，则cos𝜑 = ，sin𝜑 = ， 所以 y = 3sinx + 4cosx = 5𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑)； 综上可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为 – 5. 方法总结：类似两个三角函数相加的函数求周期、最值，先用和（差）角公式将函数变为 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑) 的形式，即可求得上述值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 公式拓展 辅助角公式 𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑) ，其中𝜑 = tan 推导：𝑦 = 𝑎sin x + 𝑏cos x = ( sin x + cos x) = (cos φ·sin x + sin φ·cos x)， 其中cos φ = ，sin φ = . 故：𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑) ，其中𝜑 = tan . 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 运用辅助角公式，求函数 y = 5cos x – 12sin x 的周期，最大值和最小值. 解：𝑦 = 5𝑠𝑖𝑛𝑥 – 12𝑐𝑜𝑠𝑥 = ( sin x – cos x)， = 13 ( cos x – sin x) = 13(sin θ·cos x – cos θ·sin x) = 13sin(θ – x)，其中sin θ = ，cos θ = ； 因此，所求周期为2，最大值为13，最小值为 – 13. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC = α，求当角α 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． 分析：要求矩形ABCD的最大面积S，可分二步进行； ① 找出矩形面积 S 与角 α 之间的函数关系； ② 由得出的函数关系，求 S 的最大值； 解：由图可知，S = AB·BC，在Rt△BOC中，BC = sin α，OB = cos α， 又在Rt△AOD中，∠AOD = 60°，所以 OA = AD = BC = sin α， 所以 AB = OB – OA = cos α – sin α，故 S = AB·BC = (cos α – sin α) · sin α； 新课讲授 学习目标 课堂总结 求矩形 ABCD 的最大面积 S： 已知：S = AB·BC = (cos α – sin α) · sin α = cos α